<p>Длины сторон треугольника и диаметр вписанной окружности являются четырьмя целыми числами, последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите длину меньшей стороны 675-го треугольника по возрастанию периметра.</p>
<p><span>Окружность проходит через вершины B и C параллелограмма ABCD и касается его высоты AH, проведенной к стороне CD, в точке K. |</span><span lang="EN-US">AK|</span><span>/|</span><span lang="EN-US">KH|</span><span> = 1:2. KF – это перпендикуляр, проведенный из точки K к прямой BC. Длины отрезков |CH|, |HD| и <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4618, 'ebody11279146184618')">...ещё...</a></span></p>
<p>На плоскости дана прямая <em>L </em>и не параллельный ей отрезок AB, который не имеет общих точек с этой прямой. Построить на плоскости с помощью циркуля и односторонней линейки точку M, равноудаленную от точек A и B и прямой <em>L</em>. За <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4617, 'ebody11270146174617')">...ещё...</a></p>
<p>(2<sup>1/3 </sup> - 1)<sup>1/3 </sup> = a<sup>1/3</sup> + b<sup>1/3</sup> + c<sup>1/3</sup>, где a, b, c - рациональные числа. Найти их сумму a+b+c. </p>
<p>169 точек, раположенные квадратом 13×13, окрашены m цветами так, что ни одна ЧЕТВЁРКА точек одного цвета не составляет квадрат. Чему равен минимальный m?</p>
<p>Правильный 2025-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Найти отношение количества остроугольных треугольников к количеству тупоугольных треугольников.</p>
<p>a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>10</sub> – действительные числа, хотя бы одно из которых не равно нулю.</p>
<p>Σ<sub>2</sub> = a<sub>1</sub><sup>2</sup> + a<sub>2</sub><sup>2</sup> + a<sub>3</sub><sup>2</sup> + ... + a<sub>10</sub><sup>2</sup> (т.е. сумма их квадратов)</p>
<p>σ<sub>2</sub> = a<sub>1</sub>a <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4613, 'ebody140546134613')">...ещё...</a></p>
<p>Рассмотрим квадратную сетку из n<sup>2</sup> точек, расположенных в виде квадрата с n точками на стороне. Определим f(n) как максимально возможное количество точек этой сетки, не образующих ни один квадрат (любого наклона).</p>
<p>Найдите f(2)+f(3)+f(4 <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4612, 'ebody140546124612')">...ещё...</a></p>
<p align="left">Рассмотрим треугольную сетку из 1+2+3+...+n точек, расположенных в виде равностороннего треугольника с n точками на стороне. Определим f(n) как максимально возможное количество точек этой сетки, не образующих ни один равносторонний треугольник (любого наклона).</p>
<p>Найдите f(2 <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4611, 'ebody140546114611')">...ещё...</a></p>
<p>a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, ..., a<sub>10</sub> – действительные числа, хотя бы одно из которых не равно нулю.</p>
<p>Σ<sub>2</sub> = a<sub>1</sub><sup>2</sup> + a<sub>2</sub><sup>2</sup> + a<sub>3</sub><sup>2</sup> + ... + a<sub>10</sub><sup>2</sup> (т.е. сумма их квадратов)</p>
<p>σ<sub>2</sub> = a<sub>1</sub>a <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4610, 'ebody140546104610')">...ещё...</a></p>
<p>Если существует взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств A и B, то говорят, что эти два множества имеют <span style="text-decoration: underline;">одинаковую мощность</span>.</p>
<p>Иначе, одно из них обязательно имеет одинаковую мощность с каким-то подмножеством другого множества. Тогда говорят, что первое множество имеет <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4609, 'ebody140546094609')">...ещё...</a></p>
<p>Рассмотрим квадратную сетку из 20×20 точек. Найдите количество различных (неконгруэнтных) замкнутых ломаных на этой сетке, обладающих следующими свойствами:</p>
<ul>
<li>они проходят строго по линиям сетки;</li>
<li>они проходят ровно один раз через каждый узел;</li>
<li>они обладают поворотной симметрией 4-го порядка.</li>
</ul>
<p>На <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4608, 'ebody140546084608')">...ещё...</a></p>
<p>Фигура «Ёлочка» сложена из полного набора пентамино, как показано на рисунке, и украшена замкнутой гирляндой из 12 лампочек. Гирлянда является маршрутом козлотура, который, перескакивая по лампочкам "ходами козлотура" (см. рисунок), побывав ровно по одному разу в одной из клеток каждого <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4607, 'ebody140546074607')">...ещё...</a></p>
