<p>На треугольной сетке из точек, расположенных в виде равностороннего треугольника, на стороне которого находятся <strong>N</strong> точек, построена замкнутая ломаная, обладающая следующими свойствами:</p>
<p>• Её звенья лежат строго на линиях сетки, а вершины – в её узлах.</p>
<p>• Она проходит ровно по одному разу <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4738, 'ebody140547384738')">...ещё...</a></p>
<p>В прямоугольнике ABCD провели отрезок АК (К лежит на стороне ВС) и образовались треугольник ABK и трапеция AKCD. Радиусы вписанных окружностей в треугольник и трапецию равны соответственно 2 и 6. Найти площадь прямоугольника.</p>
<p><img src="https://www.diofant.ru/site_media/gallery/kvlom.png" alt="Ломаные на квадратных сетках" width="269" height="270" /></p>
<p>Перед вами квадратная сетка из 6×6 точек, и на ней – пример замкнутой ломаной, которая обладает следующими свойствами:</p>
<ul>
<li>она проходит строго по линиям сетки;</li>
<li>она проходит ровно по одному разу через каждую точку сетки.</li>
</ul>
<p>Легко видеть, что суммарная длина её <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4736, 'ebody140547364736')">...ещё...</a></p>
<p>На сторонах АВ, ВС, СА равнобедренного треугольника АВС (|АВ|=|ВС|) отмечены точки K, L, M соответственно так, что углы АКМ=90°, BLK=90°, |KL|=|KM|. Найти угол CML в градусах.</p>
<p>Доказать, что если a, b и c - стороны треугольника, то уравнение<br />b<sup>2</sup>x<sup>2</sup>+(b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>-a<sup>2</sup>)x+c<sup>2</sup>=0<br />не имеет действительных корней. </p>
<p>Точки A и B лежат на разных ветвях гиперболы, заданной уравнением y = 1/x. Пусть A<sub>x</sub> и A<sub>y</sub> – проекции точки A на координатные оси, а Bx и By – проекции точки B на координатные оси. Площадь треугольника AB<sub>x <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4732, 'ebody11270147324732')">...ещё...</a></sub></p>
<p>Обыкновенные дроби с натуральными числителями и знаменателями считаются удачными, если они равны дроби, у которой числитель натуральное число на единицу меньшее знаменателя. Дробь 4/6 считается удачной. Сколько удачных дробей будет со знаменателем 2025?</p>
<p align="left">Внутри квадрата ABCD со стороной 1 находится точка P на расстоянии 4/7 от стороны AB и на расстоянии 3/11 от стороны AD.</p>
<p>K – точка пересечения медиан треугольника ABP, <br />L – точка пересечения медиан треугольника BCP,<br />M – точка пересечения медиан <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4727, 'ebody140547274727')">...ещё...</a></p>
<p>По кругу в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 2025.</p>
<p><img src="https://www.diofant.ru/site_media/gallery/Koltso_chisel.jpg" alt="Кольцо из чисел" width="297" height="297" /></p>
<p>В каждой паре соседних чисел нашли сумму. Множество этих сумм упорядочили по возрастанию. Оказалось, что в этом множестве есть M подряд идущих натуральных чисел. Найдите наибольшее значение M.</p>
