<p>Доказать, что если a, b и c - стороны треугольника, то уравнение<br />b<sup>2</sup>x<sup>2</sup>+(b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>-a<sup>2</sup>)x+c<sup>2</sup>=0<br />не имеет действительных корней. </p>
<p>Точки A и B лежат на разных ветвях гиперболы, заданной уравнением y = 1/x. Пусть A<sub>x</sub> и A<sub>y</sub> – проекции точки A на координатные оси, а Bx и By – проекции точки B на координатные оси. Площадь треугольника AB<sub>x <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4732, 'ebody11270147324732')">...ещё...</a></sub></p>
<p>Обыкновенные дроби с натуральными числителями и знаменателями считаются удачными, если они равны дроби, у которой числитель натуральное число на единицу меньшее знаменателя. Дробь 4/6 считается удачной. Сколько удачных дробей будет со знаменателем 2025?</p>
<p align="left">Внутри квадрата ABCD со стороной 1 находится точка P на расстоянии 4/7 от стороны AB и на расстоянии 3/11 от стороны AD.</p>
<p>K – точка пересечения медиан треугольника ABP, <br />L – точка пересечения медиан треугольника BCP,<br />M – точка пересечения медиан <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4727, 'ebody140547274727')">...ещё...</a></p>
<p>По кругу в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 2025.</p>
<p><img src="https://www.diofant.ru/site_media/gallery/Koltso_chisel.jpg" alt="Кольцо из чисел" width="297" height="297" /></p>
<p>В каждой паре соседних чисел нашли сумму. Множество этих сумм упорядочили по возрастанию. Оказалось, что в этом множестве есть M подряд идущих натуральных чисел. Найдите наибольшее значение M.</p>
<div>
<p class="94ad1fe00fdc9e61bd6ff683d8d0a42f228bf8a64b8551e1msonormal"><span lang="en-IL">В сектор окружности с радиусом R=1 и углом b вписан прямоугольник так, что два его угла лежат на дуге, а другие два угла на противоположных радиусах.</span></p>
<p class="94ad1fe00fdc9e61bd6ff683d8d0a42f228bf8a64b8551e1msonormal"><span lang="en-IL">При этом прямоугольник занимает максимально возможную площадь сектора. При каком b<180 площадь <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4725, 'ebody11294147254725')">...ещё...</a></span></p></div>
<p>В квадрате ABCD в середине стороны ВС отмечена точка М. Отрезок АМ является малым катетом треугольника АМЕ. Точка Е является точкой пересечения двух прямых, одной из которых принадлежит больший катет АЕ, другой принадлежит гипотенуза МЕ, являющаяся продолжением отрезка MD в <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4724, 'ebody1472447245920')">...ещё...</a></p>
<p>В квадрате ABCD c площадью 40 окружность проходит через вершину D, центр квадрата и середину стороны АВ так, что вершина А находится в круге. Найти площадь круга, если π=3,14. Ответ введите с точностью до одного знака после запятой.</p>
<p>Даны два треугольника. Один из них имеет стороны 10, 7, 15 и соответствующие углы α, β, γ.</p>
<p><img src="https://www.diofant.ru/site_media/gallery/tr71015.png" alt="Длина кривой - 5" width="400" /></p>
<p>Другой – это треугольник ABC с углами A=85°, B=40°, C=55°.</p>
<p>Кривая L<sub>1</sub> это геометрическое место точек, из которых треугольник ABC виден под углом <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4721, 'ebody140547214721')">...ещё...</a></p>
<p>В прямоугольном треугольнике АВС с целочисленными катетами АС и ВС (|AC|>|BC|) вписана окружность с целочисленным радиусом. Касательный к окружности отрезок DE, параллельный катету ВС, создает прямоугольный треугольник ADE. В него вписана окружность с целочисленным радиусом, меньшим от начального на <a class="rawlink" onclick="load_full_body('pp', 4719, 'ebody1471947195920')">...ещё...</a></p>
<p>Пусть <em>x</em>, <em>y</em> и <em>z</em> – такие действительные числа <em>x</em> > 1, <em>y</em> > 1, <em>z</em> > 1, что выполнены следующие равенства: </p>
<p><img src="https://www.diofant.ru/site_media/gallery/Sistema.jpg" alt="Три равенства" width="329" height="148" /></p>
<p>Найдите значение произведения <em>xyz</em>.</p>
