На плоскости в узлах правильной треугольной решетки расположены точки так, что их множество образует правильный шестиугольник. На стороне этого шестиугольника 10 точек (рис. для 4 точек).

Сколько попарно неконгруэнтных правильных шестиугольников определяют эти точки?

Прямоугольный параллелепипед 3x4x5 составлен из белых и черных единичных кубиков. Оказалось, что пар соседних кубиков (т. е. имеющих общую грань) разного цвета всего 48, пар соседних кубиков белого цвета всего 51. Сколько пар соседних кубиков черного цвета?

Множество A={a,b,c} содержит 3 элемента. Его запись занимает 7 символов.

Множество B это множество всех подмножеств множества A. Его запись: {{},{a},{b},{a,b},{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} занимает 42 символа.

Множество C это множество всех подмножеств множества B. Сколько символов занимает запись множества C?

На экзамене два преподавателя принимают экзамен у студентов. Один принимает только теорию, а второй только практику. Время затрачиваемое каждым преподавателем на прием теории, либо практики одинаковое. Через равные промежутки в аудиторию заходят по два студента, сдают экзамен (один из них теорию, второй практику), потом уходят, заходят следующие так далее. Т.е. каждый студент должен зайти в аудиторию два раза. Перед экзаменом студенты случайным образом разыгрывают между собой номера в очереди к каждому преподавателям. Найдите вероятность того, что полученное таким образом расписание для 8 студентов не сможет быть выполнено.

При последовательном подбрасывании монеты, после каждого броска сравнивают количество ранее выпавших орлов и решек и подсчитывают сколько раз эти количества совпадали. Например, если монета выпадала так: ОРОРРРР (О - орел, Р - решка), то количество таких совпадений равно 2, а если РРРРОРОР, то количество совпадений равно 0. Пусть n - это количество бросков монеты, а F(n) это среднее количество совпадений (или математическое ожидание количества совпадений).

Тогда:

F(1) = 0/2 = 0,
F(2) = 2/4 = 0.5
F(3) = 4/8= 0.5
F(4) = 14/16= 0.875

Найдите минимальное n при котором F(n) будет больше или равно 3

4 параллельных  прямых расположены на плоскости одна за другой на одинаковых растояниях. 4 других параллельных  прямых, не параллельных предыдущим прямым, также расположены на той же плоскости одна за другой на одинаковых растояниях. Наконец, третья группа 4-х параллельных  прямых, не параллельных предыдущим, тоже расположены на той же плоскости одна за другой на одинаковых растояниях.

Эти 12 прямых делят плоскость на n областей. Найдите сумму всех возможных значений n.

На гранях кубика написаны все буквы слова "ХОРОШО" - по одной букве на грань (буква О, например, написана 3 раза). Сколько раз в среднем надо бросить кубик, чтобы 6 последовательных бросков дали слово "ХОРОШО"?

20 студентов сдавали экзамен по очереди. Сначала они написали на бумажках номера от 1 до 20 и случайным образом вытаскивали по одной бумажке, тот кто вытащил бумажку с номером 1, пошел сдавать первым. Затем бумажка с номером 20 была уничтожена и оставшиеся студенты снова вытаскивали бумажки и снова, вытащивший номер 1 шел следующим. Процедура повторялась каждый раз, пока все студенты не сдали экзамен. Как оказалось, у каждого студента все вытянутые им номера были различными. Староста группы в первый раз вытащил число 14. Каким по счету он пошел отвечать?

На гранях кубика написаны все буквы слова "ХОРОШО" - по одной букве на грань. Буква О написана 3 раза, но мы не различаем эти буквы - у нас просто есть 4 различных символа Х, О, Р, Ш. Сколько раз в среднем надо бросить кубик, чтобы мы увидели все эти 4 символа (в любой последовательности)?

У Васи есть три предмета:

1. Монета

2. Игральная кость на каждой стороне которой написаны различные гласные буквы английского алфавита: 'AEIOUY'

3. Икосаэдр, на каждой грани которого написаны различные согласные буквы английского алфавита: 'BCDFGHJKLMNPQRSTVWXZ'

Вася кидает монету и:

- если выпадает орел, то он бросает игральную кость и выписывает выпавшую  букву на доску;

- если выпадает решка, то он бросает икосаэдр и выписывает выпавшую букву на доску.

Так он продолжает делать, пока полученная последовательность букв не будет заканчиваться словом 'ABBA'. Сколько раз (в среднем) Василию придется бросить монетку?