В квадрате ABCD проведен отрезок DE так, что |ВЕ|:|ЕС|=4:3. Диагональ АС пересекает DE в точке О, которая является общей вершиной двух квадратов на диагоналях ОС и АО. Найти площадь квадрата на диагонали АО, если площадь квадрата на диагонали ОС равна 6. 

Пусть x є R, y є R, таковы, что x = y*(3 – y)² и y = x*(3 – x)². Найдите все возможные суммы (x + y), а также целые части от выражений (x + y + ½), то есть, величины [x + y + ½], где квадратные скобки обозначают функцию целой части.

В ответе укажите сумму всех полученных чисел [x + y + ½], соответствующих всем решениям исходной системы.

Например, если бы величина [x + y + ½] принимала только следующие значения, и только с указанной кратностью: 0; 6 (кратность 2); 7; 9; 13 (кратность 2) и 27, то ответ был бы равен 81 (причем, в данном примере двукратные величины 6 и 13 повторяются).

Окружность проходит через вершины B и C параллелограмма ABCD и касается его высоты AH, проведенной к стороне CD, в точке K. KF – это перпендикуляр, проведенный из точки K к прямой BC. Длины отрезков CH, HD и KF – последовательные натуральные числа, расположенные в возрастающем порядке.  Найдите длину стороны АВ параллелограмма ABCD.

В правильном пятиугольнике отмечены середины сторон и проведены десять отрезков так, как на рисунке.

Найти отношение площадей внутреннего десятиугольника и исходного пятиугольника. В ответе укажите десятичную дробь с точностью до тысячных долей, в качестве десятичного разделителя используйте запятую.

Диагонали правильного 12-угольника разбивают его на части, среди которых есть треугольники и четырехугольники. Найдите отношение числа треугольников к числу четырехугольников.

Фигура «Ёлочка» сложена из полного набора пентамино, как показано на рисунке, и украшена замкнутой гирляндой из 12 лампочек. Гирлянда является маршрутом козлотура, который, перескакивая по лампочкам "ходами козлотура" (см. рисунок), побывав ровно по одному разу в одной из клеток каждого пентамино, возвращается к исходной лампочке.

Сколько всего существует таких замкнутых маршрутов козлотура?

Рассмотрим квадратную сетку из 20×20 точек. Найдите количество различных (неконгруэнтных) замкнутых ломаных на этой сетке, обладающих следующими свойствами:

• они проходят строго по линиям сетки;
• они проходят ровно один раз через каждый узел;
• они обладают поворотной симметрией 4-го порядка.

На рисунке изображён пример замкнутой ломаной, обладающей этими же свойствами, на квадратной сетке меньшего размера:

Если существует взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств A и B, то говорят, что эти два множества имеют одинаковую мощность.

Иначе, одно из них обязательно имеет одинаковую мощность с каким-то подмножеством другого множества. Тогда говорят, что первое множество имеет меньшую мощность, чем второе.

Рассмотрим следующие множества:

1. Множество точек интервала (0, 1).
2. Множество точек отрезка [0, 1].
3. Множество точек шара x² + y² + z² < 5².
4. Множество всех вещественных чисел.
5. Множество всех вещественных функций, определённых на [0, 1].
6. Множество всех непрерывных вещественных функций, определённых на [0, 1].
7. Множество всех положительных чётных чисел, меньших ста.
8. Множество всех положительных нечётных чисел, меньших ста.
9. Множество наибольшей мощности непересекающихся букв Т на плоскости.
10. Множество наибольшей мощности непересекающихся букв М на плоскости.

Замечание. Здесь "буква Т" состоит из двух отрезков нулевой ширины, а "буква М" – из четырёх таких отрезков.

Дополните следующую таблицу

крестиками во всех клетках, стоящих на пересечении i-й строки и j-го ,столбца, если множества с номерами i и j имеют одинаковую мощность.

Сколько всего крестиков окажется в таблице?

a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀ – действительные числа, хотя бы одно из которых не равно нулю.

Σ₂ = a₁² + a₂² + a₃² + ... + a₁₀²  (т.е. сумма их квадратов)

σ₂ = a₁a₂ + a₁a₃ + a₁a₄ + ... + a₉a₁₀  (т.е. сумма произведений каждого с каждым)

Найдите максимально возможное значение σ₂/Σ₂. 

Рассмотрим треугольную сетку из 1+2+3+...+n точек, расположенных в виде равностороннего треугольника с n точками на стороне. Определим f(n) как максимально возможное количество точек этой сетки, не образующих ни один равносторонний треугольник (любого наклона).

Найдите f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)+f(9).