Высота правильной треугольной пирамиды соединяет центры двух противоположных граней правильного октаэдра, а боковое ребро пирамиды проходит через центр третьей грани октаэдра. Найти наименьшее отношение объёмов пирамиды и октаэдра.

Последовательно применяя формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, можно вывести формулы для синуса и косинуса суммы любого количества углов.

Формулы для синуса и косинуса суммы n углов имеют вид суммы всевозможных произведений k синусов и m косинусов (k+m=n) отдельных углов, с какими-то коэффициентами.

Т.к. формулы симметричны относительно углов, в каждой из них все слагаемые-призведения с одними и теми же k и m имеют один и тот же коэффициент. Обозначим его:
S_k,m – в формуле синуса суммы k+m углов;
C_k,m – в формуле косинуса суммы k+m углов.

Например:
С_0,2 = 1, C_1,1 = 0, C_2,0 = -1.

Найдите сумму квадратов S_579,420 и C_579,421. 

Вундеркинд Вася нашёл очень старый калькулятор, на котором изображались числа, но лишь на 8-ми позициях. Проверяя калькулятор на разных умножениях чисел, он вспомнил простой метод: имеется равенство N*x=111111111 (9 единиц), где х - некая цифра (N легко запоминается). Однако такое произведение не может получиться на старом калькуляторе. Такое умножение N*8 позволяло бы легко проверить находку, но к несчастью, кнопки "2","6","8" не работали! Вдруг Васю осенило проверить находку на правильность деления: М/у=N (у - тоже цифра), а заодно - и умножения N*у=М. Итак, запросто обнаружилась возможность получить работоспособный калькулятор после мелкого ремонта! Кнопку "2" Васе удалось починить почти сразу и проверить умножение (N*2)*2*2=N*8. Пусть m - количество всех разных цифр в записи числа N*8. Чему равно М+m?

Натуральный ряд записан построчно в виде числовой пирамиды: в первой строке записана 1, во второй строке – следующие два числа 2 и 3, в третьей строке – следующие три числа, и т.д., то есть в n-ой строке записаны n очередных чисел.

Рассмотрим треугольные рамки, у которых одна вершина совпадает с вершиной пирамиды, две стороны параллельны боковым сторонам пирамиды, третья сторона содержит n-ую строку числовой пирамиды. На рисунке показана 6-ая рамка. Чему равна сумма всех чисел в 123-ей треугольной рамке?

На стороне ВС треугольника АВС с целочисленными углами в градусах отмечена точка D, CD=AB, угол BAD=30°. Найти наибольший угол ВАС в градусах.

"Докажем", что все лошади одного цвета. Укажите номер первого ошибочного пункта в следующем изложении:

Докажем по индукции, что для любого натурального числа n выполняется следующее утверждение:

Любая группа из n лошадей состоит из лошадей одного цвета.

1. Для n=1 утверждение верно. Действительно, любая группа из ОДНОЙ лошади состоит из лошадей одного цвета.

Покажем, что из выполнимости утверждения для какого-то n следует его выполнимость для n+1.

2. Пусть утверждение верно для какого-то n. Рассмотрим любую группу из n+1 лошадей.

3. Удалим из этой группы одну лошадь. Согласно предположению индукции, все оставшиеся n лошадей одного цвета.

4. Вернём удалённую лошадь, а вместо неё удалим другую лошадь.

5. Опять все оставшиеся n лошадей одного цвета.

6. Следовательно, все n+1 лошадь одного цвета.

7. Теорема доказана! 

На рисунке изображены правильный 6-угольник со стороной 6 и ломаная из 14-и звеньев, длины которых составляют арифметическую прогрессию: 1, 2, 3, ... Углы между соседными звеньями – 60° (см.рисунок).

Ломаная – несамопересекающаяся. Она соединяет середины двух противоположных сторон 6-угольника.

Однако, существуют и другие ломаные, обладающие всеми этими свойствами, кроме количество звеньев.

Найдите минимально возможное количество звеньев.

Рассмотрим следующие 6 свободных полиомино:

Свободное, или двустороннее полиомино – сколько бы его ни сдвигать, поворачивать и переворачивать, считается, что оно одно и тот же. В дальнейшем говорится только о таких.

Определение. Если полиомино B можно построить путём добавления какого-то количества квадратиков (0 или больше) к полиомино A, то будем говорить, что A является подполиомино B. Нужно построить таблицу из 6x6=36 символов – НУЛЕЙ и ЕДИНИЦ – таким образом:
В x-м символе y-й строки нужно записать ЕДИНИЦУ, если существует подполиомино y-го полиомино, которое также является подполиомино x-го полиомино, но не является подполиомино ни одного из остальных полиомино.
В противном случае нужно записать в этой позиции НОЛЬ.

Введите в ответ все эти символы подряд, строку за строкой. Нумерация строк идёт сверху вниз, а символов в строке – слева направо. Номера полиомино показаны на их изображениях.

В треугольнике АВС угол В=45°. На стороне ВС точка D делит её в отношении ВD:СD=1:2, угол ВАD=15°. Найти угол С в градусах.

Числовому равенству 3³+4³+5³=6³ соответствует геометрическое равенство.

Это геометрическое равенство можно доказать разрезанием меньших кубов на части, из которых затем складывается большой куб 6х6х6. Из какого наименьшего числа частей может при этом состоять куб 6х6х6?