Равнобедренную трапецию с отстрыми углами 60° раделили на N одинаковых равносторонних треугольников. Найдите количество всех возможных значений N, не превосходящих 100.

На плоскости заданы следующие точки: L₁, L₂, L₃, R₁, R₂, R₃ и проведены отрезки: L₁R₂ и L₂R₁, L₂R₃ и L₃R₂, L₁R₃ и L₃R₁, а также отрезок MN, где: M – точка пересечения отрезков L₁R₂ и L₂R₁, N - точка пересечения отрезков L₂R₃ и L₃R₂. Эти 7 отрезков делят плоскость на несколько непересекающихся областей. Среди этих областей имеются различные многоугольники.

Вычислите и введите в ответе такое число: количество 3-угольников + умноженное на 10 количество 4-угольников + умноженное на 100 количество 5-угольников.

Обратите внимание, что здесь, кроме зеленых и белых многоугольников, имеются зелено-белые многоугольники.

На иранской почтовой марке 1982 года, посвященной международному дню связи, изображена фигура, составленная из единичных кубиков.

Выясните принцип построения таких фигуры. Найдите количество кубиков в фигуре, на внешнем ребре которой 44 кубика. Например, если на внешнем ребре фигуры 2 кубика, то она составлена из 7 кубиков, если на внешнем ребре фигуры 4 кубика, то она составлена из 44 кубиков, т.д.

Каркасный куб N x N x N составлен из единичных кубиков, которые расположены вдоль ребер куба. Шесть таких каркасных кубов объединены в форме пространственного креста так, что два соседних куба пересекаются N своими реберными кубиками. Пусть каркас пространственного креста составлен из K единичных кубов, а в его внутреннее пространство (пустота), ограниченное гранями кубов, составлено из P единичных кубиков. При каком N отношение P / K равно 512?

На рисунке слева изображена каркасная модель куба 4х4х4, составленная из 32 единичных кубиков, справа – каркас пространственного креста, составленного из шести таких кубов.

Равносторонний треугольник со стороной n расчерчен на n² единичных треугольников, после чего разрезан по параллельным прямым на n полос, содержащих 1, 3, 5, …, (2n – 1) единичных треугольников. Выясните, сколькими различными способами можно сложить из его полос равносторонний треугольник со стороной 8? При этом симметричные и поворотные укладки не считаются.

На рисунке показано, что равносторонний треугольник со стороной 4 можно сложить 5-ю различными способами.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 полностью содержится в квадрате со стороной 12. На следуюшем рисунке показано несколько примеров возможных положений треугольника в квадрате:

Определим фигуру A как множество точек, которые могут оказаться точками пересечения высот треугольника. Определите площадь этой фигуры.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 полностью содержится в квадрате со стороной 12.

На следуюшем рисунке показано несколько примеров возможных положений треугольника в квадрате:

Определим фигуру B как множество точек, которые могут оказаться центрами вписанной в треугольник окружности. Определите площадь этой фигуры.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 полностью содержится в квадрате со стороной 12.

На следуюшем рисунке показано несколько примеров возможных положений треугольника в квадрате:

Определим фигуру C как множество точек, которые могут оказаться центрами описанной около треугольника окружности. Определите площадь этой фигуры.

Умножьте её на 1000 и введите целую часть произведения.