Ковер Серпинского представляет собой бесконечное разбиение квадрата на меньшие квадраты.

Построение выполняется поэтапно: на первом шаге исходный квадрат разбивается на девять равных квадратов и центральный квадрат закрашивается; на втором этапе каждый из оставшихся незакрашенных квадратов разбивается на девять меньших квадратов и центральный квадрат закрашивается, и так до бесконечности. На рисунке показаны разбиения квадрата, которые получаются после первых трех шагов. Сколько закрашенных и незакрашенных квадратов вместе получается на пятом шаге построения ковра Серпинского? 

Вычислите значение выражения .

На доске рисуют звезду - замкнутую пятизвенную ломаную. Во внутренний пятиугольник этой звезды вписывают ешё одну звезду и так далее, как показано на рисунке.

Сколько треугольников будет нарисовано, когда число звёзд, построенных таким образом, достигнет 100?

Обратите внимание, что здесь кроме красных и белых треугольников имеются красно-белые треугольники.

В квадратную рамку из дерева вбито по три гвоздя параллельно друг другу с каждой стороны. Меняя глубину погружения гвоздей, добейтесь такого расположения, чтобы каждый гвоздь пересекал ровно n гвоздей (разумеется в проекции). Выясните, при каких значениях n выполняется условие задачи. В ответе укажите  сумму всех таких значений n.

На приведенном рисунке показано решение при n=1.

Первые десять натуральных чисел разбейте на пары так, чтобы из пяти прямоугольников с длинами сторон, соответствующих парам, можно было сложить квадрат. В ответе укажите площадь наибольшего такого квадрата.

Найдите наибольшее значение определителя матрицы четвертого порядка, у которой на главной диагонали записаны числа 1, 2, 3 и 4, а все остальные числа одинаковы. Определитель изображен на рисунке.

Каждая фигурка тридомино состоит из трех домино. Домино – это прямоугольник 1х2. Соседние домино в каждой фигурке имеют общую границу длиной 1 или 2. Найдите полный набор фигурок «тридомино». Из k фигурок этого набора можно сложить прямоугольник 6хk, например, на рисунке показан прямоугольник 6х10, сложенный из десяти фигурок.

Сложите прямоугольник, употребив большее число фигурок найденного набора, причем, каждую фигурку можно использовать один раз. В ответе укажите наибольшее значение k.

Уточним: 1) две фигурки различны, если их контуры нельзя совместить;

2) при построении прямоугольника фигурки можно как угодно поворачивать и переворачивать.

Сколько точек с целочисленными координатами находится внутри области, ограниченной параболой  у=2020-х² и осью Ох?

Числа натурального ряда записаны на клетчатой бумаге в форме спирали: в одной из клеток записано число 1, справа от неё в соседней клетке записано число 2, вниз от неё в соседней клетке записано число 3, и так далее, двигаясь по часовой стрелке образуется спираль из натурального ряда.

В ней можно выделить концентрические квадратные рамки, центром которых является клетка с числом 1. Найдите сумму чисел в рамке размером 101х101.

Решите уравнение 1²⋅n + 2²⋅(n−1) + … + (n−1)²⋅2 + n²⋅1= k². Это уравнение является математической моделью геометрической задачи на разбиение квадрата со стороной k на систему меньших квадратов. В ответе укажите наименьшее число k>1, допускающее геометрическую интерпретацию найденного решения.