Расмотрим такую последовательность:
F₀ = 0,
F₁ = 1,
F₂ = 3,
F₃ = 10,
...
F_n+2 = 3F_n+1 + F_n

Сколько цифр в F_1000000 ?

В каждой из 18-и строк следующей таблицы задана длина стороны равностороннего треугольника - d, и расстояния от некоторой точки на этой же плоскости до трёх вершин треугольника: a, b и c.

По этим данным нужно определить для каждой строки, находится ли точка внутри треугольника.

Ответ должен состоять из 18-и нулей и единиц: Каждой строке соответствует "1", если точка находится внутри треугольника, и "0" в противном случае.

Известно, что для каких-то 4-х точек на плоскости существует конечное количество окружностей, от которых они равноудалены. Найдите максимальное возможное значение этого количества.

Рассмотрим систему двух неравенств с целочисленными коэффициентами:

Ax² + Bx + C ≤ 0
Dx² + Ex + F ≤ 0

Найдите минимально возможную сумму |A| + |B| + |C| + |D| + |E| + |F|, при которой эта системы имеет действительные решения, но не имеет рационального решения?

Определителем таблицы из 9-и чисел:
a b c
d e f
g h i
называется значение выражения:
a*e*i + b*f*g + c*d*h – c*e*g – a*f*h – b*d*i.

Дано число: n = 10¹⁰⁰ + 1. Рассмотрим всевозможные таблицы указанного выше вида, когда каждый из 9-и чисел равен либо 1, либо n. Пусть их наибольший определитель равен x. Найдите сумму цифр числа x.

На рисунке указаны длины звеньев ломаной в правильном шестиугольнике.

Длина гипотенузы AC прямоугольного треугольника ABC представима в виде x + y*√3, где x и y – рациональные числа.

Найдите сумму x+y.

На рисунке изображены правильный 6-угольник со стороной 6 и ломаная из 14-и звеньев, длины которых составляют арифметическую прогрессию: 1, 2, 3, ... Углы между соседными звеньями – 60° (см.рисунок).

Ломаная – несамопересекающаяся. Она соединяет середины двух противоположных сторон 6-угольника.

Однако, существуют и другие ломаные, обладающие всеми этими свойствами, кроме количество звеньев.

Найдите минимально возможное количество звеньев.

Рассмотрим уравнение в целых числах:
x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = x+y+z.
Найдите первые три наименьшие различные неотрицательные значения суммы s=x+y+z. Введите в ответе сумму этих трёх значений s.

Рассмотрим множество чисел M = {1, 2, 3, ..., 2¹⁴ - 1}. Определим на этом множестве операцию «циклического сложения»:
x⊕y = [(x+y) / 2¹⁴] + (x+y) mod 2¹⁴
(целая часть от деления x+y на 2¹⁴ + остаток от деления x+y на 2¹⁴).

Например:
123 ⊕ 456 = [(123+456) / 2¹⁴] + (123+456) mod 2¹⁴  = 0 + 579 = 579

16380 ⊕ 7 = [(16380+7) / 2¹⁴] + (16380+7) mod 2¹⁴  = 1 + 3 = 4

Докажите, что эта операция определяет группу на множестве M и найдите её нейтральный элемент? Введите его в двоичной системе счисления.

7 первых натуральных чисел, кратных 7-и, расположили в каком-то произвольном порядке в одну строку без пробелов, например так: 7142128354249.

Соединив первую и последнюю цифры, получили замкнутую цепочку из 13-и цифр (смотрите рисунок).

Затем разъединили какие-то две соседние цифры и снова натянули цепочку в одну строку. Получилось 13-значное число. На рисунке это число: 2835424971421.

Какое наименьшее возможное число?

Замечание: Наши цифры как игрушка «Ванька-встань-ка» - сколько бы их ни поворачивать, они всегда смотрят на нас вертикально.