На доске рисуют звезду - замкнутую пятизвенную ломаную. Во внутренний пятиугольник этой звезды вписывают ешё одну звезду и так далее, как показано на рисунке.

Сколько треугольников будет нарисовано, когда число звёзд, построенных таким образом, достигнет 100?

Обратите внимание, что здесь кроме красных и белых треугольников имеются красно-белые треугольники.

Первые десять натуральных чисел разбейте на пары так, чтобы из пяти прямоугольников с длинами сторон, соответствующих парам, можно было сложить квадрат. В ответе укажите площадь наибольшего такого квадрата.

Клетки таблицы 7x13 раскрашены в чёрный и белый цвета. Пар соседних клеток разного цвета всего 60, пар соседних клеток белого цвета всего 78. Сколько пар соседних клеток черного цвета?

Каждая фигурка тридомино состоит из трех домино. Домино – это прямоугольник 1х2. Соседние домино в каждой фигурке имеют общую границу длиной 1 или 2. Найдите полный набор фигурок «тридомино». Из k фигурок этого набора можно сложить прямоугольник 6хk, например, на рисунке показан прямоугольник 6х10, сложенный из десяти фигурок.

Сложите прямоугольник, употребив большее число фигурок найденного набора, причем, каждую фигурку можно использовать один раз. В ответе укажите наибольшее значение k.

Уточним: 1) две фигурки различны, если их контуры нельзя совместить;

2) при построении прямоугольника фигурки можно как угодно поворачивать и переворачивать.

Каждая фигурка тридомино состоит из трех домино. Домино – это прямоугольник 1х2. Соседние домино в каждой фигурке имеют общую границу длиной 1 или 2. Существует несколько фигурок тридомино, некоторые из них являются разверткой куба.

Выясните какие, и в ответе укажите количество таких тридомино.

Числовому равенству 3³+4³+5³=6³ соответствует геометрическое равенство.

Это геометрическое равенство можно доказать разрезанием меньших кубов на части, из которых затем складывается большой куб 6х6х6. Из какого наименьшего числа частей может при этом состоять куб 6х6х6?

На ступенчатом квадрате построен замкнутый маршрут шахматного коня, состоящий из 14 прыжков.

Постройте здесь замкнутый маршрут, содержащий максимально возможное число прыжков коня. Дважды прыгать в одну клетку нельзя. Начинать можно с любой клетки. В ответе укажите число прыжков шахматного коня в этом маршруте.

В кружки фигуры, изображенной на рисунке, расставлены натуральные числа от 1 до 49, и в каждом квадрате найдена сумма четырех чисел, расположенных в его вершинах, после чего квадраты с одинаковыми суммами закрашены одним цветом. 

В этой расстановке максимум одинаковых сумм равен числу зеленых клеток, то есть 7. Расставьте эти числа в другом порядке, просуммируйте четверки чисел и раскрасьте квадраты указанным образом. В ответе укажите наибольшее возможное число одноцветных квадратов.

Уточним, рассматриваются только квадраты равные закрашенным.

Любитель комбинаторной геометрии каждый год рисует правильный треугольник, длина стороны которого равна номеру этого года, и прямыми параллельными сторонам треугольника делит его на правильные треугольники со стороной 1.  В полученной таким образом треугольной сетке он закрашивает несколько треугольных ячеек так, чтобы они не пересекались, и при этом старается закрасить все узлы треугольной сетки. В 2022 году любителю не удалось это сделать. В каком ближайшем году он сможет закрасить сетку нужным образом?

На рисунке приведен пример неудачной раскраски сетки, так как остались три незакрашенных узла.

На плоскости можно провести несколько прямых так, что они, пересекаясь друг с другом, образуют несколько не перекрывающихся пятиконечных звезд, употребив при этом наименьшее число прямых. Например, рисунке показано, как 1 звезду нарисовать 5 прямыми, 3 звезды нарисовать 8 прямыми, как 3 звезды нарисовать 9 прямыми.

Как нарисовать 7 звезд проведя наименьшее число прямых? В ответе укажите число прямых.

Важно учитывать, что в предложенной конструкции при продолжении прямых не должны появляться новые звезды.