В выборах в стоместный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов (т.е. если одна из партий набрала в x раз больше голосов, чем другая, то и мест в парламенте она получит в x раз больше). После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т.п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия участников проекта "Диофант" набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?

На доске выписаны подряд целые числа от 0 до 1024 — всего 1025 чисел. Двое играют в такую игру. Сначала первый стирает 512 чисел, потом второй стирает 256 чисел, потом первый 128, потом второй 64 и т.д. На десятом ходу второй стирает одно число, после чего первый выплачивает ему разницу между двумя оставшимися числами. Какую сумму он получит при наилучшей стратегии обоих игроков?

Если у осьминога чётное число ног, он всегда говорит
правду. Если нечётное, то он всегда лжёт. Однажды зелёный
осьминог сказал тёмно-синему:
— У меня 8 ног. А у тебя только 6.
— Это у меня 8 ног, — обиделся тёмно-синий. — А у тебя
всего 7.
— У тёмно-синего действительно 8 ног, — поддержал фиолетовый и похвастался: — А вот у меня целых 9!
— Ни у кого из вас не 8 ног, — вступил в разговор полосатый осьминог. — Только у меня 8 ног!
У кого из осьминогов было ровно 8 ног? Введите номер в порядке появления в условии задачи.

Для натурального числа n обозначим C(n) количество натуральных чисел x меньших n, для которых x²+x+1 делится на n. Чему равно C(p), если p — простое? В ответе напишите без пробелов значения C(k·2^k−1) при k=115, 123, 249, 362 и 384. Учтите, что числа k·2^k−1 являются простыми при всех указанных значениях k.

Назовем натуральное число тормозом, если в его десятичной записи найдутся две одинаковые цифры рядом. Найдите наибольшее натуральное число, которое нельзя представить как сумму двух тормозов.

Найти максимальную длину такой последовательности натуральных чисел N(i), что

N(i) <= 2013 для любого i,

N(i) = | N(i-1) - N(i-2) | для i>2

Дано N натуральных чисел, не превосходящих 100000. Известно, что все числа различны, и ни одно из них не равно произведению двух других.

Найти максимальное N.

Найдите максимальное натуральное n, для которого {√n} = {√(n+100)}. Здесь {x} — дробная часть числа x, то есть разность между числом x и наибольшим не превосходящим его целым числом

M сообщает P и S , что имеются два натуральных числа,
больших единицы, а их сумма меньше 100.
M: "Произведение этих чисел равно...(сообщает на ухо P),
а сумма этих чисел... (сообщает на ухо S). Чему равны числа?" 
После этого произошёл диалог:
(P): Не могу сказать, что это за числа.        
(S): А я знал, что Вы этого не сможете.       
(P): Тогда я знаю эти числа.                       
(S): Тогда и я их знаю.

Чему равна максимальная сумма чисел?

Даны n действительных чисел a₁, a₂, …, a_n. Известно, что все попарные суммы a_i+a_j (i ≠ j) – различны и в порядке возрастания образуют арифметическую прогрессию. Найдите максимально возможное n?