Последовательности действительных чисел a_n, b_n (n=0,1, ...) заданы так, что a₁=α, b₁=β и a_n+1=αa_n-βb_n, b_n+1=βa_n+αb_n для всех n≥1. Найдите количество пар числ (α,β) не равных нулю, таких что a₁₉₉₇=b₁ и b₁₉₉₇=a₁.

Пусть f(x)=1/(x-1)+1/(x-2)+...+1/(x-100) и x₁, x₂, ..., x_n - нули функции в каком-то порядке.

Найдите максимум выражения ([x₁]-[x₂]+[x₃]-[x₄]+...±[x_n])/(n+1), где [x] - целая часть x.

С вершины небольшой горы к ее подножью проложена железная дорога с боковым тупиком, вмещающим 10 вагонов. Все возможные направления движения показаны на картинке стрелками.

На вершине горы находятся 10 вагонов с номерами от 1 до 10, но их порядок неизвестен. Работа машиниста Вовы - свозить по одному вагоны так, чтобы внизу они оказались в обычном порядке: 1, 2, ..., 10. Для сортировки можно пользоваться тупиком. На картинке показаны два случая, когда всего 5 вагонов - в одном варианте Вова может выполнить задание, в другом - нет. Найдите вероятность того, что Вова не сможет выполнить задание (для 10 вагонов).

Найдите остаток от деления многочлена (15x⁹⁹⁶ + 2x³³⁵ – 11x³ + 125x + 646) на многочлен (– 2x² – 2).

В ответе укажите сумму коэффициентов остатка.

Решите уравнение x² + y² = (x + 1)³ в целых числах.
В ответе введите сумму различных значений x.

Концы ломаной из двух звеньев совпадают с серединами противоположных сторон правильного шестиугольника со стороной 1.

Это первый целочисленный шестиугольник. Концы  ломаной из трёх звеньев совпадают с серединами  противоположных сторон правильного шестиугольника со стороной 2. Это второй целочисленный шестиугольник (смотрите рисунок). Сколько звеньев у ломаной, соединяющей середины противоположных сторон шестого по размерам правильного целочисленного  шестиугольника? Ломаная строится как змейка: первое звено равно 1, каждое последующее на 1 больше предыдущего; угол межу соседними звеньями равен Pi/3.

Любитель кубика Рубика снял все 54 наклейки с кубика 3х3х3 и переклеил их вновь в случайном порядке. Какова вероятность собрать такой кубик Рубика? Собранным считается кубик, у которого все грани одного цвета. В качестве ответа введите число из первых трёх цифр вероятности, опуская начальные нули. Например, если вероятность равна 0,00040756…, то в ответ вносится число 407.