Возьмём полоску бумаги и начнём её разрезать и сгибать пополам. Обозначим

• 0 - сгиб, при котором правая часть загибается вниз;
• 1 - сгиб, при котором левая часть загибается вниз;
• 2 - разрез, при котором правая часть подкладывается под левую;
• 3 - разрез, при котором левая часть подкладывается под правую.

Последовательность сгибов/разрезов назовём "фальцовкой".
В результате фальцовки мы получим "тетрадь".
Если теперь перенумеровать все страницы сверху вниз начиная с нуля, а затем развернуть тетрадь обратно в полоску, то увидим, что вся полоса (сверху и снизу) исписана числами. Последовательность чисел (сначала тех что сверху, затем тех, что снизу) назовем "раскладкой". Например, фальцовке '00' соответствует раскладка '0,7,4,3,2,5,6,1'. Здесь число 0 - находится на нулевом, а 7 на первом месте.

Определите на каком месте находится число 2012 в раскладке для следующей фальцовки: '2010201120122013'

В последовательности  четыре единицы, три двойки и три тройки. Пусть  и

Найдите наибольшее значение .

Найдите количество упорядоченных пар целых чисел , удовлетворяющих условию 

и таких, что  и  по модулю не превосходят .

Подмножество S действительных чисел строится следующим образом:

1. Число 1 принадлежит S

2. Для любой пары чисел a и b из S числа a+b, a-b, a*b, a/b (b ≠ 0), sqrt(a) (a >= 0) принадлежат S

Теперь для каждого числа из S определим ранг (целое неотрицательное число):

Будем говорить, что числа -1, 0 и 1 имеют ранг 0 в S, числа ранга k и ниже образуют подмножество S_k множества S, а числа, получаемые из пар чисел S_k пятью вышеуказанными бинарными и унарными операциями и не принадлежащие S_k, имеют ранг k+1.

Т.е. ранг - это минимальный номер шага, на котором мы можем получить число из исходного множества S₀ = {-1,0,1}

Найдите ранг числа

Найдите количество инъективных функций , обладающих следующим свойством:

 для всех .

Найдите количество подмножеств множества натуральных чисел {1,2,...,37} с суммой элементов, делящейся на 74.

При каком наименьшем k в любой раскраске клеток таблицы 2012?k в 1006 цветов найдутся четыре клетки одного цвета, стоящие на пересечении двух строк и двух столбцов?

Несколько (больше одного) человек, каждый из которых вначале имеет 300 долларов, играют в казино. Один раунд игры заключается в следующем. Все игроки отдают по 10 долларов крупье, затем один из них по жребию объявляется проигравшим. Он раздаёт все свои деньги поровну всем остальным и выходит из игры. В итоге оказалось, что у последнего оставшегося игрока капитал вновь составляет 300 долларов. Сколько человек пришло в казино?

Доска 16х16 разделена на квадраты со стороной длины 1. Сколько существует различных отрезков целочисленной длины с концами в узлах доски? (Поворачивать доску нельзя, т.е. для доски 1х1  ответ - 4.) 

На слет приехало 9876 ребят из разных школ. Каждый выходит погулять по лагерю. Кого он встретит первым? Встреча с любым из участников слета равновероятна. Мальчиков приехало больше, чем девочек. Известно, что вероятности встретить первым МАЛЬЧИКУ-МАЛЬЧИКА, МАЛЬЧИКУ-ДЕВОЧКУ, ДЕВОЧКЕ-ДЕВОЧКУ и ДЕВОЧКЕ-МАЛЬЧИКА можно расположить (не обязательно в таком порядке) так, чтобы они образовывали арифметическую прогрессию. Сколько мальчиков приехало на слет? Ввести сумму всех возможных значений.