img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
отражение
Лента событий: kondor1969 решил задачу "Хитрая улитка II" (Математика):
Рисунок
Rss

Задачи: Математика   

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Показывать на странице:
+ 18
+ЗАДАЧА 32. Три спутника (Д.Б.Фукс, переработка demiurgos)
  
Задачу решили: 108
всего попыток: 501
Задача опубликована: 02.04.09 15:13
Прислал: demiurgos img
Источник: Московская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 5 img
баллы: 100
Лучшее решение: lg

В рамках новой программы исследования околоземного пространства её руководители хотят запусить три спутника, которые будут летать на одной и той же высоте, делая один оборот вокруг Земли за 15 часов. Спутники нужно вывести на их орбиты так, чтобы в течение нескольких часов пути спутников не пересекались, т.е. чтобы никакие два спутника не побывали за это время в одной и той же точке околоземного пространства. Какого наибольшего целого числа часов можно добиться, правильно выбрав орбиты спутников?

С математической точки зрения речь идёт о непересекающихся дугах больших окружностей сферы (большая окружность — это пересечение сферы с плоскостью, проходящей через её центр).

Например, если спутников только два, а не три, то ответ на вопрос задачи — 14. Для этого их надо запустить так, чтобы один пролетал над Северным полюсом в тот момент, когда другой пролетает над Южным. И через полчаса после их одновременного прохода полюсов у нас заведомо будет 14 часов.

Задачу решили: 84
всего попыток: 320
Задача опубликована: 07.05.09 19:30
Прислал: demiurgos img
Вес: 1
сложность: 4 img
баллы: 100
Лучшее решение: meduza

Какое минимальное число различных решений, лежащих на отрезке [−π,π], может иметь тригонометрическое уравнение a cos(9x) + b sin(16x) + c cos(25x) + d sin(36x) = 0? (Решения данного уравнения зависят от значений его коэффициентов a, b, c и d.)

Задачу решили: 194
всего попыток: 514
Задача опубликована: 10.06.09 16:27
Прислал: demiurgos img
Источник: В.В.Ткачук "Математика — абитуриенту"
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100
Лучшее решение: zmerch

Сколько различных решений имеет уравнение log1/16x=(1/16)x?

Задачу решили: 28
всего попыток: 37
Задача опубликована: 26.11.09 10:00
Прислал: TALMON img
Вес: 1
сложность: 3 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: min

Представить в конечном виде: Cn0·xnCn1·(x−1)n+Cn2·(x−2)nCn3·(x−3)n+...+(−1)n·Cnn·(xn)n, где Cnk=n!/(k!·(n-k)!), n!=1·2·3·...·n, а 0!=1.

Задачу решили: 61
всего попыток: 66
Задача опубликована: 08.01.10 21:54
Прислал: demiurgos img
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: TALMON (Тальмон Сильвер)

Можно ли представить произвольное натуральное число в виде выражения, содержащего лишь три двойки и произвольные математические знаки? Т.е. допускается сколько угодно складывать, вычитать, менять знак, умножать, делить, возводить в степень, извлекать корни, логарифмировать, вычислять синусы и арксинусы, косинусы и арккосинусы, тангенсы и арктангенсы, но все числа в выражении должны быть записаны в десятичной записи с помощью лишь трёх двоек.

Задачу решили: 53
всего попыток: 342
Задача опубликована: 22.01.10 23:29
Прислал: demiurgos img
Вес: 1
сложность: 4 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Dremov_Victor (Виктор Дремов)

Решите уравнение xy=yx в рациональных числах. В ответе укажите количество его различных решений, удовлетворяющих неравенствам: x>y, x>11/4.

Задачу решили: 44
всего попыток: 65
Задача опубликована: 25.01.10 16:03
Прислал: demiurgos img
Источник: А.В.Жуков, П.И.Самовол, М.В.Аппельбаум "Элега...
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: nellyk

Найдите два таких иррациональных числа a и b, что число ab является рациональным. (Числа надо указать конкретно; требуется также доказать их иррациональность, но обязательно оставаясь в рамках школьной программы — пользоваться сложными теоремами теории чисел, подобными седьмой проблеме Гильберта или трансцендентности e, нельзя!)

Задачу решили: 52
всего попыток: 140
Задача опубликована: 19.03.10 08:00
Прислал: demiurgos img
Источник: Московская олимпиада
Вес: 1
сложность: 3 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Dremov_Victor (Виктор Дремов)

Функция ƒ, определённая на всех векторах трёхмерного пространства, такова, что для любых действительных чисел a, b и любых векторов x, y выполняется неравенство

ƒ(ax+by) ≤ max {ƒ(x), ƒ(y)}.

Какое наибольшее число различных значений может принимать функция ƒ?

Это открытая задача (*?*)
Задача опубликована: 28.05.10 16:03
Прислал: demiurgos img
Вес: 1
сложность: 4 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Vkorsukov

Представим отрезок гармонического ряда


в виде несократимой дроби. Доказать, что её числитель делится на , если — простое и .

Задачу решили: 115
всего попыток: 338
Задача опубликована: 11.06.10 08:00
Прислал: demiurgos img
Вес: 1
сложность: 2 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: nellyk

Решите неравенство

.

В ответе укажите число его целых решений.

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.