Пусть действительное значение параметра α такое, что для любых действительных значений x выполняется неравенство:
13*cos(x) - cos(13*x + α) ≤ M, найдите минимальное значение M.

В качестве ответа введите это число M с точностью до 13-го знака после запятой.

Бесконечное семейство синусоид задается формулой у = (–1)ⁿ∙sinx + 2n, где n∈Z, и разбивает координатную плоскость на бесконечное множество равных частей. Найдите площадь S одной части. В ответе укажите отношение площади S к площади прямоугольника со сторонами 7 и 3∏. Здесь ∏ - число Пи.

Треугольник со сторонами a, b, c полностью помещается в квадрате со стороной d. Обозначим как f(a, b, c) минимально возможное значение d для данных a, b, c. Найдите сумму f(5, 6, 7) + f(12, 13, 14) + f(13, 14, 15), умножьте её на 10⁸ и введите в ответе целую часть результата.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 полностью содержится в квадрате со стороной 12.

На следуюшем рисунке показано несколько примеров возможных положений треугольника в квадрате:

Определим фигуру D как множество точек, которые могут оказаться точками пересечения медиан треугольника. Определите площадь этой фигуры.

Умножьте результат на 10000 (десять тысяч) и введите в ответе целую часть произведени. не округлять, а просто отрезать дробную чисть).

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 полностью содержится в квадрате со стороной 12.

На следуюшем рисунке показано несколько примеров возможных положений треугольника в квадрате:

Определим фигуру E как множество точек, которые могут оказаться точками Жергонна треугольника. Определите площадь этой фигуры.

Этой ярмарки краски,
разноцветные пляски,
Деревянные качели, 
расписные карусели.

Раскрашиваем полоску из n клеток, слева направо, тремя цветами: красным, зелёным и синим (каждую клетку – одним цветом).

Обозначим f(n) количество раскрасок полоски, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Красных и зелёных клеток – поровну.
2. В процессе раскрашивания красных клеток всегда не меньше чем зелёных.
3. Синих может вовсе не быть.
4. Если синие есть, то длины сплошных участков синих возрастают: первый участок – только одна клетка, второй участок – 2 клетки, и т.д.

На рисунке показаны два примера таких раскрасок (из всего f(8)=15 возможных).

Сколько существует правильных раскрасок полоски длиной 19? А длиной 20? В качестве ответа введите сумму этих двух чисел.