Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 3 4 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 368. Гармонический ряд и делимость (Ю.Г.Прохоров)

Это открытая задача (*?*)

Задача опубликована: 28.05.10 16:03

Прислал: demiurgos

Вес: 1

сложность: 4

класс: 11 и старше

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 1

Лучшее решение:

Vkorsukov

Представим отрезок гармонического ряда

в виде несократимой дроби. Доказать, что её числитель делится на , если — простое и .

+ЗАДАЧА 400. Круги между окружностями

Задачу решили: 78

всего попыток: 203

Задача опубликована: 11.08.10 08:00

Прислал: demiurgos

Вес: 1

сложность: 4

класс: 11 и старше

баллы: 100

Темы: планиметрия

решать >>

Комментарии: 5

Лучшее решение:

andervish (Андрей Вишневый)

На плоскости проведены две окружности с радиусами 5 и 9 так, что расстояние между их центрами равно 2. Какое наибольшее число непересекающихся кругов можно нарисовать на плоскости так, чтобы каждый из них касался обеих окружностей?

+ЗАДАЧА 485. Всё делится!

Задачу решили: 49

всего попыток: 85

Задача опубликована: 08.12.10 08:00

Прислал: TALMON

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Найти минимальное натуральное число n>2010, удовлетворяющее условию: в любом множестве из n целых чисел существует подмножество из 2010 чисел, сумма которых делится на 2010.

+ЗАДАЧА 525. Симметричные пирамиды (А.Белов)

Задачу решили: 50

всего попыток: 142

Задача опубликована: 11.01.11 08:00

Прислал: demiurgos

Источник: Всероссийская олимпиада

Вес: 1

сложность: 4

класс: 11 и старше

баллы: 100

Темы: стереометрия

решать >>

Комментарии: 0

Две треугольные пирамиды центрально симметричны относительно общей вершины, объём каждой пирамиды — 2010. Найдите объём фигуры, состоящей из середин всех отрезков, концы которых принадлежит разным пирамидам.

+ЗАДАЧА 534. Мало данных II

Задачу решили: 20

всего попыток: 132

Задача опубликована: 24.01.11 08:00

Прислал: demiurgos

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

, планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Точка A лежит вне прямой a, на которой отмечены 2011 различных точек. Известно, что расстояние от точки A до прямой a, а также между любыми двумя из всех упомянутых 2012 точек является целым числом. Найдите наименьшее возможное расстояние между прямой a и точкой A.

+ЗАДАЧА 645. Снова целые точки на гиперболе

Задачу решили: 32

всего попыток: 203

Задача опубликована: 13.10.11 08:00

Прислал: demiurgos

Вес: 1

сложность: 4

класс: 11 и старше

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Timur

Сколько существует точек с целочисленными координатами, лежащих на кривой x²−3y²=1 и расположенных внутри круга радиуса 2011²⁰¹¹ с центром в начале координат?

+ЗАДАЧА 668. Треугольники в пространстве

Задачу решили: 45

всего попыток: 369

Задача опубликована: 05.12.11 08:00

Прислал: Volga

Вес: 1

сложность: 4

класс: 11 и старше

баллы: 100

Темы: арифметика

, стереометрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

levvol

В трёхмерном пространстве рассмотрим все такие треугольники, что координаты их вершин задаются целыми числами из набора [0,1,2,3,4]. Сколько всего среди этих треугольников равносторонних?

+ЗАДАЧА 711. Равные площади

Задачу решили: 22

всего попыток: 101

Задача опубликована: 12.03.12 08:00

Прислал: Timur

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

, планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

0Vlas

Через точку $A$ на окружности единичного радиуса (r=1) проведена прямая $l$ на расстоянии $\frac{1}{2}$ от ее центра $O$ . На прямой $l$ вне окружности и слева от точки $A$ отметим на расстоянии $n_i$ от нее точку $B_i$ , а на расстоянии $m_i$ слева от точки $B_i$ - точку $C_i$ и проведем через них окружности с центром в т. $O$ так, что получим три различные концентричные окружности (см. рис.). Через каждую точку проведем касательную к окружности на которой она лежит так, что пересечение этих касательных образуют треугольник $T_i=D_i E_i F_i$ .

Из двух прямых, которые можно провести через точку на окружности на данном расстоянии от ее центра - рассматривается только одна из них. Из двух лучей, на которые окружность делит эту прямую, точки откладываются только на одном. Так, как это показано на рисунке.

Если $n_k$ и $m_k$ натуральные числа, существует $k$ точек $B_k$ и соответствующих им точек $C_k$ таких, что площади всех треугольников $T_k$ равны, причем $S( T_k )$ $=18480$ . Найдите все такие точки $B_k$ , в ответе укажите сумму соответствующих им $n_k$ .

+ЗАДАЧА 766. Окружность и касательная

Задачу решили: 35

всего попыток: 82

Задача опубликована: 20.07.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: планиметрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Timur

На окружности $O$ выбраны точки $A$ , $B$ , $C$ , для которых
$AB = 18$ , $\angle ABC = 59^\circ$ , $\angle CAB = 3^\circ$ .
На прямой, касающейся окружности $O$ в точке $A$ , выбраны точки $D$ , $E$ , такие что
$\angle DAC < 90^\circ$ , $DA = 12$ , $AE = 18$ , $DE = 30$ .
Прямые $BD$ и $CE$ пересекают окружность $O$ в точках $K$ и $L$ , прямая $KL$ пересекает прямую $DE$ в точке $P$ , причем точка $E$ лежит между $P$ и $A$ . Найдите длину отрезка $AP$ .

+ЗАДАЧА 915. Конус

Задачу решили: 36

всего попыток: 60

Задача опубликована: 05.07.13 09:18

Прислал: nauru

Источник: Кубок Колмогорова 2008

Вес: 1

сложность: 4

класс: 11 и старше

баллы: 100

Темы: стереометрия

решать >>

Комментарии: 0

Дана вписанная n-угольная пирамида SA₁A₂…A_n. Сфера ? касается всех её боковых ребер SA_i, а также касается плоскости основания в точке K. При каком минимальном n точка K обязательно является центром окружности, описанной около основания?

Пред. 1 2 3 4 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию


Окно