В квадрате ABCD расположена окружность. Из вершин квадрата к окружности проведены отрезки касательных, на которых построены четыре равносторонних треугольника (см. рис.).

Три из них имеют площади 15, 20, 42. Найдите площадь четвертого треугольника.

Вершины квадрата отрезками соединены с серединами его сторон.

При этом квадрат разбивается на несколько частей, из которых некоторые закрашены. Какая часть квадрата закрашена?

Таблица Пифагора – это квадратная таблица, в каждой ячейке которой записано число, равное произведению номера строки и номера столбца. Побочная диагональ разбивает таблицу на две треугольные области. Найдите отношение суммы чисел, расположенных выше и левее побочной диагонали таблицы 100х100 к сумме чисел, расположенных ниже и правее побочной диагонали этой таблицы. Для примера, все числа побочной диагонали выделены зеленым цветом на таблице 9х9.

На рисунке приведен фрагмент школьного трафарета с четырьмя правильными многоугольниками.

Начертите их на бумаге и выясните, какие из этих многоугольников можно разрезать на четыре равнобедренных треугольника, среди которых нет равных? (Треугольники нельзя складывать из более мелких частей.)

Если можно разрезать, то ставим 1, если нельзя, то ставим 0, и, таким образом, ответ записывается четырехзначным числом, состоящем из нулей и единиц, порядок которых определяет расположение многоугольников на трафарете слева на право.

В треугольник Рело вписан правильный шестиугольник (см. рис.).

Найдите площадь шестиугольника, если |АВ|=65.
В ответе укажите целую часть площади (антье).

В квадратной таблице 360х360 строки и столбцы «пронумерованы» числами от 1° до 360°. В каждой ячейке этой таблицы записано число, равное произведению синуса «номера» строки на косинус «номера» столбца. Сколько рациональных чисел в этой таблице?

В окружности с центром O построен правильный шестиугольник KOFPDL так, что его вершина D лежит на окружности. Из точки B, диаметрально противоположной точке D, проведены две хорды AB и BC, проходящие через вершины K и F шестиугольника соответственно.

Найти отношение площади шестиугольника KOFPDL к площади четырехугольника ABCD.

n-ый член последовательности 1, 6, 8, 20, 21, 40, 40, 66, 65, 98, 96, … — это число бесконечной таблицы Пифагора, которого достигает шахматный конь, сделавший n ходов, двигаясь по бесконечной ломаной линии, начиная с числа 1. Маршрут шахматного коня представляет собой бесконечную зигзагообразную ломаную линию, начало которой изображено на рисунке для таблицы 13х13.

Все звенья ломаной имеют одинаковую длину и равны длине прыжка шахматного коня. Соседние звенья ломаной перпендикулярны, попеременно меняют направление влево, вправо, влево, вправо, ...

Пусть a₀=1, a₁=6, a₂=8. Найдите a₁₁₁.

Рассмотрим бесконечную клетчатую плоскость, в каждую клетку которой вписано число натурального ряда, – по порядку, начиная с 1, следуя по спирали (см. рис.). Спираль для определенности будем считать закручивающейся по часовой стрелке. 

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре клетки с числом 1 и осями, параллельными сторонам клеток. Нарисуем ветвь параболы y=√x и рассмотрим на ней точки с целыми координатами. Каждая такая точка определяет клетку плоскости, а значит, и написанное в ней число. Например, точке параболы (0; 0) соответствует число 1, точке (1; 1) — число 9, а точке (4; 2) — число 51. Пусть a_n — число, соответствующее точке (n²;n) параболы; тогда  a₀=1, a₁=9, a₂=51, a₃=295, ... Найдите  23-й член последовательности (a_n).

В координатной плоскости Oxy задана парабола y=x², на которой отмечены все ее точки с целыми координатами.

Проведены всевозможные хорды параболы, с концами в отмеченных точках.  Расположим хорды в порядке возрастания их длины, без повторений, и рассмотрим последовательность квадратов длин этих хорд. Начало последовательности выглядит так: 2, 4, 10, 16, 18, 20, 26, …. На рисунке изображена хорда AB, которой соответствует а₁₂ = 4²+8² = 80. Найдите 64-ый член последовательности.