img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
Рисунок
Rss

Задачи: Математика   

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Показывать на странице:
Задачу решили: 45
всего попыток: 76
Задача опубликована: 20.08.12 08:00
Прислал: georgp img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: zmerch

Рассмотрим одноклеточное существо змейку – фигуру, первоначально содержащую один квадрат и растущую в плоскости за счет прибавления квадратных клеток того же размера к какой-нибудь его стороне. Стороны этой фигуры не должны выходить за пределы квадрата 1999 на 1999. Найти максимальное число клеток, которое может иметь связная фигура (в комбинаторике такая фигура называется полимино). Связность заключается в том, что в ней нет дыр. Кроме того, никакая точка фигуры не может одновременно принадлежать четырем клеткам, а каждая клетка не может иметь только одну точку общую с остальными клетками. 

Для иллюстрации приведен рисунок, показывающий процесс роста фигуры и запрещенные позиции, которые не может содержать фигура в процессе своего роста.

       ПРОЦЕСС РОСТА ФИГУРЫ                                                          

222.png

       ЗАПРЕЩЕННЫЕ ПОЗИЦИИ

    333.png                                                                           

             a)           b)         c)

Задачу решили: 40
всего попыток: 261
Задача опубликована: 24.08.12 08:00
Прислал: georgp img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: Dremov_Victor (Виктор Дремов)

Плоский граф содержит 122 вершины, все его грани шестиугольники. Граф содержит замкнутый путь, идущий по ребрам, проходящий через каждую вершину только один раз. Такой граф называется гамильтоновым. Найти число граней,  которые имеет данный граф.

Задачу решили: 67
всего попыток: 101
Задача опубликована: 26.08.12 08:00
Прислал: georgp img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Dremov_Victor (Виктор Дремов)

Известно, что 12x1+22x2+32x3+...+2002 x200≤2040000, где x1,  x2,  x3 ,…. X200 принимают значения 0 или 1. 

Найти максимальное значение 12x1+22x2+32x3+...+2002 x200.

Задачу решили: 43
всего попыток: 112
Задача опубликована: 21.09.12 08:00
Прислал: bbny img
Вес: 1
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Sam777e

Подмножество S действительных чисел строится следующим образом:

1. Число 1 принадлежит S

2. Для любой пары чисел a и b из S числа a+b, a-b, a*b, a/b (b ≠ 0), sqrt(a) (a >= 0) принадлежат S

Теперь для каждого числа из S определим ранг (целое неотрицательное число):

Будем говорить, что числа -1, 0 и 1 имеют ранг 0 в S, числа ранга k и ниже образуют подмножество Sk множества S, а числа, получаемые из пар чисел Sk пятью вышеуказанными бинарными и унарными операциями и не принадлежащие Sk, имеют ранг k+1.

Т.е. ранг - это минимальный номер шага, на котором мы можем получить число из исходного множества S0 = {-1,0,1}

Найдите ранг числа


number.gif

Задачу решили: 43
всего попыток: 281
Задача опубликована: 03.10.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Angelina

Пусть f(x) = x^2 -10x + \frac{p}{2}. Найдите такое натуральное p, что уравнение f \circ f \circ f (x) = f(x) имеет ровно 4 различных действительных решения.

Задачу решили: 27
всего попыток: 100
Задача опубликована: 10.10.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: TALMON (Тальмон Сильвер)

Найдите количество инъективных функций f \colon \{1,2,\ldots, 7\} \to \{1,2,\ldots,9\}, обладающих следующим свойством:

f(i) \ne f(j) + 1 для всех 1 \le i < j \le 7.

Задачу решили: 65
всего попыток: 105
Задача опубликована: 19.10.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: zmerch

Для натуральных чисел a, b, c справедливо равенство


\cfrac{a^3}{(b + 3)(c + 3)} + 
\cfrac{b^3}{(c + 3)(a + 3)} + 
\cfrac{c^3}{(a + 3)(b + 3)} = 7.

 

Найдите значение a + b + c.

Задачу решили: 46
всего попыток: 61
Задача опубликована: 29.10.12 08:00
Прислал: Dremov_Victor img
Источник: Корейская математическая олимпиада
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: levvol

Последовательность целых чисел \{a_n\} такова, что a_1 = 1, a_2 = 2, и для некоторого натурального k выполняется


a_{n+k} = a_n, \quad n = 1, 2, \ldots

Также известно, что последовательность b_n = a_{n+2} - a_{n+1} + a_n обладает следующим свойством

b_{n+1} = \cfrac{1 + b_n^2}{2},\quad n = 1, 2, \ldots

Найдите значение \sum \limits_{n = 1} ^{60} a_n.

Задачу решили: 40
всего попыток: 79
Задача опубликована: 31.10.12 08:00
Прислал: zmerch img
Вес: 1
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: bbny

Найдите количество подмножеств множества натуральных чисел {1,2,...,37} с суммой элементов, делящейся на 74.

Задачу решили: 87
всего попыток: 132
Задача опубликована: 16.11.12 08:00
Прислал: pvpsaba img
Источник: Грузинская национальная олимпиада по математи...
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Vkorsukov

Найти минимальное значение выражения: x8+y8-3x2y2, х и у - действительные числа.

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.