50 гангстеров стреляют друг в друга одновременно. Каждый стреляет в ближайшего к нему гангстера (или в одного из ближайших, если несколько человек находятся на равном расстоянии от него) и убивает его наповал. Найдите наименьшее возможное количество убитых. (Гангстеры — это различные точки на плоскости.)

В выборах в стоместный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов (т.е. если одна из партий набрала в x раз больше голосов, чем другая, то и мест в парламенте она получит в x раз больше). После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т.п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия участников проекта "Диофант" набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить?

На доске выписаны подряд целые числа от 0 до 1024 — всего 1025 чисел. Двое играют в такую игру. Сначала первый стирает 512 чисел, потом второй стирает 256 чисел, потом первый 128, потом второй 64 и т.д. На десятом ходу второй стирает одно число, после чего первый выплачивает ему разницу между двумя оставшимися числами. Какую сумму он получит при наилучшей стратегии обоих игроков?

Окружим Землю вдоль экватора ремнём, так чтобы он плотно прилегал к поверхности по всей длине. Землю будем считать идеальным шаром с радиусом 6 400 000 метров. Увеличим длину ремня на 1 метр. Теперь возьмём за одну точку ремня и натянем его так, чтобы ремень плотно прилегал к противоположной точке экватора, в результате точка, за которую мы потянули, поднимется над экватором на некоторую высоту. Чему будет равна эта высота? В ответе укажите ближайшее целое число метров. 

Иголку длиной 10 см случайно бросают на разлинованную бумагу, расстояние между соседними линиями которой тоже 10 см. Сколько процентов составляет вероятность того, что упавшая иголка пересечёт линию бумаги? Ответ округлите до ближайшего целого числа.

Найдите площадь треугольника по радиусам его трёх вневписанных окружностей: r_a=4, r_b=6, r_с=12 (r_a — это радиус окружности, которая касается стороны a и продолжений сторон b и c).

100 пассажиров по очереди заходят в самолет, имеющий 100 мест. Первой заходит старушка и садится на любое место. Каждый следующий пассажир занимает место, указанное в его билете, если это возможно; в противном случае — любое из оставшихся свободных мест.  Какова вероятность, что последнему пассажиру достанется место, указанное в его билете?

Квадрат со стороной 60 вписан в окружность. Найдите сторону квадрата, вписанного в один из полученных сегментов.

На клетчатой бумаге со стороной клетки 5 мм нарисована окружность радиуса 10 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Какое минимальное число клеток она может пересекать?

В треугольнике ABC с площадью 420 от вершин к противоположным сторонам проведены отрезки AK, BL, CM так, что их концы делят стороны в отношении 2:1 (BK=2·KC, CL=2·LA, AM=2·MB). Найдите площадь треугольника, ограниченного этими отрезками.