Лектор роняет указку, она падает с кафедры и ломается на три куска. Найдите вероятность того, что из обломков можно сложить треугольник. (Считать, что места разломов — независимые случайные величины, равномерно распределённые по длине целой указки.)

На клетчатой бумаге отмечены точки A и B. Примем длину стороны клетки за 1. Посчитайте количество маршрутов идущих из A в B по сторонам клеток и имеющих длину 11. (Маршрут может менять направление только в углах клеток. Допускаются маршруты, проходящие несколько раз через одну вершину (включая A и B) или сторону клетки.)
 

Множество Q(n) состоит из слов длины 2n, в записи которых ровно n букв A и n букв B, обладающих следующим свойством: для каждого k ≤ 2n среди первых k букв количество букв B не меньше, чем букв A. Найдите мощность Q(8).

На ипподроме  происходит заезд восьми лошадей. Как много вариантов финишировать имеется, учитывая, что некоторые  лошади могут придти к финишу одновременно (голова  в  голову)?  (Две лошади могут финишировать тремя способами: А выигрывает, В выигрывает, А и B приходят одновременно).

Возьмём полоску бумаги и начнём её разрезать и сгибать пополам. Обозначим

• 0 - сгиб, при котором правая часть загибается вниз;
• 1 - сгиб, при котором левая часть загибается вниз;
• 2 - разрез, при котором правая часть подкладывается под левую;
• 3 - разрез, при котором левая часть подкладывается под правую.

Последовательность сгибов/разрезов назовём "фальцовкой".
В результате фальцовки мы получим "тетрадь".
Если теперь перенумеровать все страницы сверху вниз начиная с нуля, а затем развернуть тетрадь обратно в полоску, то увидим, что вся полоса (сверху и снизу) исписана числами. Последовательность чисел (сначала тех что сверху, затем тех, что снизу) назовем "раскладкой". Например, фальцовке '00' соответствует раскладка '0,7,4,3,2,5,6,1'. Здесь число 0 - находится на нулевом, а 7 на первом месте.

Определите на каком месте находится число 2012 в раскладке для следующей фальцовки: '2010201120122013'

Найдите количество инъективных функций , обладающих следующим свойством:

 для всех .

Найдите количество подмножеств множества натуральных чисел {1,2,...,37} с суммой элементов, делящейся на 74.

При каком наименьшем k в любой раскраске клеток таблицы 2012?k в 1006 цветов найдутся четыре клетки одного цвета, стоящие на пересечении двух строк и двух столбцов?

Если в мешке находится по 3 шара черного, белого и красного цвета, как известно, вероятность вытащить два шара, например, красного цвета в этом случае равна P_к=3/9 ·2/8=1/12, а вероятность выташить наугад два шара любого одинакового цвета P=1/4.

В нашем мешке находится некоторое количество x=n·m шаров: n различных цветов, а шаров каждого цвета ровно m штук. Нетрудно посчитать вероятность P₁ выташить два шара любого одинакового цвета для этого случая. Когда в мешок добавили 52 шара нового цвета, которого в мешке не было оказалось, что вероятность P₂ (для нового количества шаров и цветов) вытащить два шара одинакового цвета не изменилась, и осталось той же, что была до добавления шаров нового цвета. То есть P₁=P₂. 

Сколько всего x шаров могло находиться в таком мешке? (до добавления 52 шаров). Если вариантов x_i несколько, в ответе укажите сумму всех вариантов. Необходимо учитывать разумные ограничения, что m>1 и n>1.

Найдите наибольшее натуральное k, удовлетворяющее следующему условию: если в 2013 мешках разложены гири, вес каждой гири – степень двойки и суммарный вес гирь в каждом мешке один и тот же, то найдутся k гирь одного веса.