Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 ... 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 21 22 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 752. Куб и 8 плоскостей

Задачу решили: 49

всего попыток: 111

Задача опубликована: 18.06.12 22:57

Прислал: admin

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: стереометрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

levvol

Через каждую вершину единичного куба проходит плоскость, все восемь плоскостей параллельны друг другу, а расстояния между соседними плоскостями равны. Найдите квадрат этого расстояния.

+ЗАДАЧА 755. Задача о раскладке

Задачу решили: 11

всего попыток: 78

Задача опубликована: 25.06.12 08:00

Прислал: katalama

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: комбинаторика

решать >>

Комментарии: 5

Лучшее решение:

zmerch

Возьмём полоску бумаги и начнём её разрезать и сгибать пополам. Обозначим

0 - сгиб, при котором правая часть загибается вниз;
1 - сгиб, при котором левая часть загибается вниз;
2 - разрез, при котором правая часть подкладывается под левую;
3 - разрез, при котором левая часть подкладывается под правую.

Последовательность сгибов/разрезов назовём "фальцовкой".
В результате фальцовки мы получим "тетрадь".
Если теперь перенумеровать все страницы сверху вниз начиная с нуля, а затем развернуть тетрадь обратно в полоску, то увидим, что вся полоса (сверху и снизу) исписана числами. Последовательность чисел (сначала тех что сверху, затем тех, что снизу) назовем "раскладкой". Например, фальцовке '00' соответствует раскладка '0,7,4,3,2,5,6,1'. Здесь число 0 - находится на нулевом, а 7 на первом месте.

Определите на каком месте находится число 2012 в раскладке для следующей фальцовки: '2010201120122013'

+ЗАДАЧА 759. Поверхность параллелепипеда

Задачу решили: 67

всего попыток: 213

Задача опубликована: 04.07.12 08:00

Прислал: admin

Вес: 1

сложность: 2

класс: 6-7

баллы: 100

Темы: стереометрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Dremov_Victor (Виктор Дремов)

Все стороны прямоугольного параллелепипеда - целые числа (в см.), а его объём - больше 2000 куб. см. Найдите наименьшую возможную площадь его поверхности в кв. см.

+ЗАДАЧА 760. Целая часть

Задачу решили: 98

всего попыток: 136

Задача опубликована: 06.07.12 08:00

Прислал: nauru

Источник: Олимпиада по математике г.Санкт-Петербурга

Вес: 1

сложность: 2

класс: 11 и старше

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Dremov_Victor (Виктор Дремов)

На какие цифры не может оканчиваться натуральное число [x]+[3x]+[6x] если х > 0 - вещественное число (через [x] обозначается целая часть x , т.е наибольшее целое число, не превосходящее x). В ответе укажите произведение цифр.

+ЗАДАЧА 770. Максимум последнего числа

Задачу решили: 41

всего попыток: 59

Задача опубликована: 30.07.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

zmerch

В последовательности $x_1, x_2, \ldots, x_{10}$ четыре единицы, три двойки и три тройки. Пусть $z_1 = x_1$ и $z_{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \cdot \cfrac{z_n x_{n+1}}{z_n + x_{n + 1}}, \quad n = 1, 2, \ldots, 9.$

Найдите наибольшее значение $z_{10}$ .

(Ответ дробный)

+ЗАДАЧА 771. Композиция функций

Задачу решили: 33

всего попыток: 424

Задача опубликована: 01.08.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 11 и старше

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

nellyk

Дано множество $X = \{ 1, 2, \ldots, 13 \}$ . Определим функцию $g\colon X \to X$ следующим образом:
$g(x) = 14 - x,\quad x \in X.$
Найдите количество функций $f\colon X \to X$ , для которых композиция $f \circ f \circ f$ равна $g$ .

+ЗАДАЧА 772. Уравнение в целых числах

Задачу решили: 65

всего попыток: 176

Задача опубликована: 03.08.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 1

Лучшее решение:

levvol

Найдите количество упорядоченных пар целых чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих условию
$4x^3 - 5x^2y + 10xy^2 + 12y^3 - 108x - 81y = 0,$
и таких, что $x$ и $y$ по модулю не превосходят $1000$ .

+ЗАДАЧА 789. Прогрессия из биномиальных коэффициентов

Задачу решили: 40

всего попыток: 72

Задача опубликована: 12.09.12 08:00

Прислал: levvol

Вес: 1

сложность: 2

класс: 11 и старше

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Angelina

Для n (100<=n<=200) найти все значения m<=n, такие, что последовательные биномиальные коэффициенты С(n,m), C(n,m+1), C(n,m+2) образуют арифметическую прогрессию. В ответе представить сумму найденных значений m с учетом их кратностей.

+ЗАДАЧА 793. Квадратичные иррациональности

Задачу решили: 43

всего попыток: 112

Задача опубликована: 21.09.12 08:00

Прислал: bbny

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 7

Лучшее решение:

Sam777e

Подмножество S действительных чисел строится следующим образом:

1. Число 1 принадлежит S

2. Для любой пары чисел a и b из S числа a+b, a-b, a*b, a/b (b ≠ 0), sqrt(a) (a >= 0) принадлежат S

Теперь для каждого числа из S определим ранг (целое неотрицательное число):

Будем говорить, что числа -1, 0 и 1 имеют ранг 0 в S, числа ранга k и ниже образуют подмножество S_k множества S, а числа, получаемые из пар чисел S_k пятью вышеуказанными бинарными и унарными операциями и не принадлежащие S_k, имеют ранг k+1.

Т.е. ранг - это минимальный номер шага, на котором мы можем получить число из исходного множества S₀ = {-1,0,1}

Найдите ранг числа