В координатной плоскости расположено множество гипербол вида |xy| = k  и множество окружностей вида x² + y² = 2k. В обоих формулах натуральное число k пробегает все значения от 1 до 55. На сколько частей все эти линии делят координатную плоскость?

С помощью равносторонних треугольников нарисованы две «растущие» ёлочки.

Треугольники «вписаны» в угол так, что две вершины каждого треугольника лежат на сторонах угла, а третья вершина лежит на биссектрисе этого угла. Площади первого и второго треугольников снизу соответственно равны 121 и 81. На ёлочке слева каждый следующий треугольник пересекается с предыдущим по треугольнику площади 1, на ёлочке справа каждый следующий треугольник пересекается с предыдущим по треугольнику площади 4. Продолжая многократно такой процесс рисования, убеждаемся, что ёлочки растут.  Как высоко они вырастут? В ответе укажите отношение высоты меньшей ёлочки к высоте большей.

Равносторонний треугольник разрезан на равносторонние треугольники, которые раскрашены в красный, желтый и зеленый цвета так, что треугольников всех трёх цветов было поровну, при этом треугольники одинакового цвета имеют один размер, а треугольники разного цвета – разного размера. Найдите наименьшее количество треугольников каждого цвета.  

Рассмотрим числовую пирамиду (см. схему ниже), построенную по следующему принципу:

в первой строке записана сумма первых 6-ти натуральных чисел;

во второй строке записана сумма первых 66-ти натуральных чисел;
в третьей строке записана сумма первых 666-ти натуральных чисел;
в четвертой строке записана сумма первых 6666-ти натуральных чисел, и так далее.

Вычислите построчные суммы в первых 21-й строках этой числовой пирамиды и сложите их. В ответе укажите сумму цифр полученного числа. 

Три равных квадрата с общей вершиной расположены так, как показано на рисунке.

Найдите площадь девятиугольника, если площади треугольников равны 1.