Рассмотрим два различных тетраэдра, вписанные в куб так, что вершины каждого являются вершинами куба, а ребра — диагоналями граней.  Во сколько раз объем куба больше, чем пересечение этих тетраэдров?

В рамках новой программы исследования околоземного пространства её руководители хотят запусить три спутника, которые будут летать на одной и той же высоте, делая один оборот вокруг Земли за 15 часов. Спутники нужно вывести на их орбиты так, чтобы в течение нескольких часов пути спутников не пересекались, т.е. чтобы никакие два спутника не побывали за это время в одной и той же точке околоземного пространства. Какого наибольшего целого числа часов можно добиться, правильно выбрав орбиты спутников?

С математической точки зрения речь идёт о непересекающихся дугах больших окружностей сферы (большая окружность — это пересечение сферы с плоскостью, проходящей через её центр).

Например, если спутников только два, а не три, то ответ на вопрос задачи — 14. Для этого их надо запустить так, чтобы один пролетал над Северным полюсом в тот момент, когда другой пролетает над Южным. И через полчаса после их одновременного прохода полюсов у нас заведомо будет 14 часов.

Сколько квадратных сантиметров составляет максимально возможная площадь ортогональной проекции на горизонтальную плоскость правильного тетраэдра со стороной 10 см?

44 гангстера летают на вертолётах и стреляют друг в друга одновременно. Каждый стреляет в ближайший к нему вертолёт (или в один из ближайших, если несколько из них находятся на равном расстоянии от него), который после этого немедленно взрывается вместе с сидящим в нём гангстером, который всё-таки сам тоже успевает выстрелить. Найдите наименьшее возможное количество убитых. (Вертолёты — это различные точки в пространстве.)

Какое минимальное число различных решений, лежащих на отрезке [−π,π], может иметь тригонометрическое уравнение a cos(9x) + b sin(16x) + c cos(25x) + d sin(36x) = 0? (Решения данного уравнения зависят от значений его коэффициентов a, b, c и d.)

Сколько различных решений имеет уравнение log_1/16x=(1/16)^x?

Сколько кубических сантиметров составляет объём пересечения двух (достаточно длинных) цилиндров, оси которых пересекаются под прямым углом, а диаметры равны 3 см?

Можно ли представить произвольное натуральное число в виде выражения, содержащего лишь три двойки и произвольные математические знаки? Т.е. допускается сколько угодно складывать, вычитать, менять знак, умножать, делить, возводить в степень, извлекать корни, логарифмировать, вычислять синусы и арксинусы, косинусы и арккосинусы, тангенсы и арктангенсы, но все числа в выражении должны быть записаны в десятичной записи с помощью лишь трёх двоек.

Решите уравнение x^y=y^x в рациональных числах. В ответе укажите количество его различных решений, удовлетворяющих неравенствам: x>y, x>11/4.