Рассмотрим сумму Sn=1·31+2·32+3·33+4·34+5·35+...+n·3n. Требуется найти последние девять цифр числа S12345678987654321.

Назовем простое число единичным если его двоичная запись содержит только единицы. Если выписать все единичные простые числа, получим ряд: 3, 7, 31, 127, ... Найдите 14-й член данного ряда.

Известно, что любое число вида √n, где n - не является полным квадратом, представимо в виде периодической цепной дроби. Например,

Нас будет интересовать количество различных значений в периоде таких цепных дробей. В приведенном примере:

√2=[1;(2)], длина периода: 1, различных значений в периоде: 1;

Приведем еще примеры:

√3=[1;(1,2)], длина периода: 2, различных значений в периоде: 2;
√5=[2;(4)], длина периода: 1, различных значений в периоде: 1;
√6=[2;(2,4)], длина периода: 2, различных значений в периоде: 2;
√7=[2;(1,1,1,4)], длина периода: 4, различных значений в периоде: 2;
√8=[2;(1,4)], длина периода: 2, различных значений в периоде: 2;
√10=[3;(6)], длина периода: 1, различных значений в периоде: 1;
√11=[3;(3,6)], длина периода: 2, различных значений в периоде: 2;
√12= [3;(2,6)], длина периода: 2, различных значений в периоде: 2;
√13=[3;(1,1,1,1,6)], длина периода: 5, различных значений в периоде: 2.

Для всех натуральных n, не больших 2009, не являющихся полными квадратами, найдите количество различных значений в периоде цепной дроби √n. В ответе укажите сумму всех количеств.

Известно, что tg(1) представляется следующей непериодической цепной дробью:

tg(1) = [ 1, 1, 1, 3, 1, 5, ... , 1, 2*k - 1, ... ]

Если рассмотреть цепную дробь только с несколькими первыми, значениями получим приближение tg(1).

Для первого значения приближение tg(1) ~ 1.

Для первых двух: tg(1) ~ 1 + 1/1 = 2.

Трёх: 1 + 1 / ( 1 + 1 / 1 ) = 3/2.

Четырех: 1 + 1 / ( 1 + 1 / ( 1 + 1 / 3 )) = 11/7.

Найдите 2009-ое и 2010-ое приближения цепными дробями tg(1). Вычислите разность этих приближений и запишите в ответ сумму цифр знаменателя этой разности.

Рассмотрим такие диофантовы уравнения:

x²-Dy²=1.

Мы будем искать минимальные (по x) решения этого уравнения в натуральных x и y. Например, для D=13 минимальное решение такое:

649²-13*180²=1.

Легко показать, что для D - полного квадрата решений не существует.

Рассмотрим минимальные решения D <= 10:

3² - 2*2²=1;

2² - 3*1²=1;

9² - 5*4²=1;

5² - 6*2²=1;

8² - 7*3²=1;

3² - 8*1²=1;

19² - 10*6²=1.

Нас будут интересовать только те D, минимальные решения которых больше всех ему предшествующих. Здесь это 2, 5, 10.

Среди всех D≤1000 не полных квадратов, найдите те у которых минимальное решение (по x) больше (по x) всех минимальных решений для меньших D. В ответе укажите сумму таких D.

Рассмотрим дробь n/d, где n и d - натуральные числа. Если числа n и d - взаимно простые, и n<d, такую дробь называют правильной несократимой.
Если мы возьмем все правильные несократимые дроби с d ≤ 8 и выпишем их в порядке возрастания, то получим следующую последовательность:
1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8
Сумма знаменателей этих дробей:
8+7+6+5+4+7+3+8+5+7+2+7+5+8+3+7+4+5+6+7+8
равна 122.
Если выписать таким же образом правильные несократимые дроби с d ≤ 1 000 000, то какой будет сумма их знаменателей?

Рассмотрим дробь n/d, где n и d - натуральные числа. Если числа n и d - взаимно простые, и n<d, такую дробь называют правильной несократимой.
Если мы возьмем все правильные несократимые дроби с d ≤ 8 и выпишем их в порядке возрастания, то получим следующую последовательность:
1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8
Между 1/3 и 1/2 расположены 3 дроби: 3/8, 2/5, 3/7, а сумма их числителей равна 8.
Если выписать таким же образом все правильные несократимые дроби с d ≤ 10 000, то какова будет сумма числителей дробей, лежащих между 1/3 и 1/2?

В игре "Пятнашки" необходимо в квадратной коробке размера 4х4 переставить пятнадцать произвольно расположенных плашек по порядку, при этом единственным разрешенным действием является перемещение одной из плашек в соседнюю незанятую в коробке позицию (http://ru.wikipedia.org/wiki/Пятнашки). Определите, за какое минимальное количество ходов можно решить данную головоломку при следующем начальном расположении плашек в коробке (незанятая позиция обозначена числом 0):

5 13 2 9 

11 15 7 10 

0 8 12 14 

3 6 4 1

Найти вторую цифру числа 2²⁰⁰⁹.

На газоне, в каждой точке которого с целыми координатами растет один пучок травы, был подстрижен прямоугольный участок с координатами левого нижнего угла (51500, -51515) и правого верхнего угла (98785, 98368). Пучки травы, находящиеся на границе этого прямоугольника, также были подстрижены. В точке с координатами (100000,14) была размещена дождевальная установка, которая имела радиус действия струи 92835. Установка полила все пучки, расстояние от которых до точки (100000,14) не превышало радиуса. Сколько подстриженных пучков травы оказались политыми?