Лента событий:
Kf_GoldFish добавил решение задачи "Режем и думаем остро " (Математика):
Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Задачу решили:
5
всего попыток:
6
Попробуем построить признак делимости для делителя p > 1, взаимно простого с 10. Мы хотим найти для каждого натурального n другое число n1, которое делится на p тогда и только тогда, когда n делится на p. Два целых числа называются равноделимыми на p, если либо они оба делятся на p, либо оба не делятся. Если b – последняя цифра числа n, и n=10a+b, мы будем искать n1 в виде:
Задачу решили:
9
всего попыток:
12
Определим модифицированную последовательность Коллатца как последовательность натуральных чисел, начинающуюся с числа a1, а далее задаваемую рекуррентно по следующим правилам:
Обозначим этот случай символом "d". Найдите все a1<1015, у которых цепочка символов, соответствующая модифицированной последовательности Коллатца, начинается с dDUddDDUUUUUdDDUdUdDUdDUddUDUd.
Задачу решили:
7
всего попыток:
9
Трехзначное число 376 в десятичной системе счисления обладает одним интересным свойством: его квадрат заканчивается теми же цифрами 3, 7 и 6, 3762 = 141376.Будем называть натуральные числа, обладающие этим свойством, устойчивыми. Устойчивые числа есть и в других системах счисления. Например, в системе счисления по основанию 14 устойчивым является число c37. Действительно, c372 = aa0c37. Наибольшее 10-значное устойчивое число в 14-ичной системе счисления равно 7337aa0c37. В десятичной записи это число равно 149429406721. (В 14-ичной системе счисления буквами a, b, c и d мы обозначили цифры 10, 11, 12 и 13, подобно тому, как это делается в 16-ичной системе счисления.) Найдите наибольшее 10000-значное устойчивое число в 14-ичной системе счисления, переведите его в десятичную систему, а в качестве ответа укажите 8 младших десятичных цифр.
Задачу решили:
3
всего попыток:
8
Сколько существует 18-значных натуральных чисел n, таких, что сумма цифр n равна сумме цифр числа 137n?
Задачу решили:
6
всего попыток:
8
Назовем пифагоровым многоугольником выпуклый многоугольник, обладающий следующими свойствами:
Обозначим через Q(n) количество различных пифагоровых многоугольников, периметр которых равен n. При этом различными будем считать многоугольники, которые нельзя преобразовать друг в друга путем параллельного переноса. Тогда Q(4)=1, Q(30) =1242, Q(60) =248282. Найдите Q(120).
Задачу решили:
10
всего попыток:
12
Будем называть четное натуральное число N приемлемым, если все его различные простые делители являются последовательными простыми числами. В частности, все положительные степени 2 являются приемлемыми. Число N=630 приемлемо, поскольку оно четно, а его различные простые множители – 2,3,5,7 – это последовательные простые числа. Число N=660 неприемлемо, поскольку в последовательности его простых множителей – 2,3,5,11 – пропущено простое число 7. Если N – приемлемое число, то наименьшее число M>1, для которого N+M – простое число, будем называть псевдо-форчуновым числом приемлемого числа N. Найдите наименьшее приемлемое N, для которого псевдо-форчуново число равно 97.
Задачу решили:
4
всего попыток:
7
Для натурального числа k обозначим через d(k) сумму его десятичных цифр. Например, d(42) = 4+2 = 6. Обозначим через S(n) количество натуральных чисел k < 10n, таких что
Можно подсчитать, что S(9) = 5464, и S(20) = 36035277144875036. Найдите остаток от деления S(2012) на 109.
Задачу решили:
2
всего попыток:
5
Лёва и Петя поспорили, у кого лучше память, и решили проверить. Для этого они обзавелись генератором случайных чисел, настроили его на получение случайных чисел от 1 до 10 и стали соревноваться, кто больше чисел запомнит. По условию игры участник получает очко, если очередное число все еще хранится в его памяти. Побеждает тот, кто набрал больше очков. По ходу дела выяснилось, что и Лёва, и Петя могут удержать в голове не более пяти разных чисел. Если игрок уже помнит пять чисел, то чтобы запомнить следующее, не содержащееся к этому моменту в его памяти, он вынужден забыть одно из имеющихся. Однако оказалось, что забывание происходит несколько по-разному:
В начале соревнования память игроков свободна. Вот пример начала игры:
Обозначим количество очков, которые Лёва и Петя набрали после 50 туров через L и P, соответственно. Найдите математическое ожидание величины (L-P)2, результат умножьте на 108 и округлите до ближайшего целого.
Задачу решили:
4
всего попыток:
5
Назовем натуральное число n мощным, если для его любого простого делителя p число n делится также на p2. Назовем натуральное число n точной степенью, если оно является степенью другого натурального числа. Назовем натуральное число n ахиллесовым, если оно мощное, но не является точной степенью. Например, числа 864 = 25•33 и 1800 = 23•32•52 — ахиллесовы. Назовем натуральное число S сильно ахиллесовым, если и S, и φ(S) — ахиллесовы. Здесь φ(S) означает функцию Эйлера. Например, число 864 — сильно ахиллесово число, поскольку φ(864) = 288 = 25•32, а число 1800 — ахиллесово, но не сильно ахиллесово, так как φ(1800) = 480 = 25•31•51. Существует 2 трехзначных и 5 четырехзначных сильно ахиллесовых чисел, а восьмизначных насчитывается 396. Найдите количество 18-значных сильно ахиллесовых чисел.
Задачу решили:
3
всего попыток:
8
Рассмотрим бесконечную строку S, состоящую из записанных подряд натуральных чисел в десятичной записи: S =1234567891011121314151617181920212223242... Ясно, что десятичная запись каждого натурального числа n встретится в строке S бесконечно много раз. Будем отмечать, где именно встретились такие вхождения. Например, число 12 первый раз встретится, начиная с позиции 1 строки S, а второй раз — с позиции 14, и так далее. Обозначим через f(n) номер позиции в строке S, с которого начинается n-ое вхождение числа n. Например, f(1)=1, f(5)=81, f(11)=235, а f(7780)=111111365. Найдите ∑f(11k), где 1≤k≤6.
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.
|