Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. Например, для числа 28 собственные делители - это  1, 2, 4, 7 и 14. Их сумма равна исходному числу 28, и за это его называют совершенным.

Сумма собственных делителей числа 220 равна 284, а сумма собственных делителей 284 равна 220. Подобные пары чисел называют дружественными. Они образуют контур из двух элементов.

Есть контуры и подлиннее. Например, начав с числа 12496, мы можем построить контур из пяти элементов:

12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 (→ 12496 → ...)

Построенную таким образом последовательность, начинающуюся и заканчивающуюся одним и тем же числом, мы будем называть дружественным контуром.

Найдите сумму элементов самого длинного дружественного контура, состоящего из чисел, не превышающих 1 000 000.

Изобретение головоломки, завоевавшей популярность под японским именем "судоку" иногда приписывают Леонарду Эйлеру, написавшем книгу о латинских квадратах. Задача заключается в заполнении цифрами от 1 до 9 пустых клеток в таблице 9x9. При этом в каждой строке, каждом столбце и в каждом малом квадрате 3x3 каждая цифра должна встречаться ровно 1 раз.
На первом рисунке приведены два квадрата. В левом - условие задачи, а в правом - ее решение.

Сколько решений имеет задача на следующем рисунке?

Квадрат размером 1024 на 1024 клетки складывается относительно вертикали сначала так, чтобы правый край наложился на левый, а затем относительно горизонтали, чтобы нижний край наложился на верхний. Операция продолжается до тех пор, пока не останется одна клетка. Клетки изначально были пронумерованы числами снизу "змейкой": самый нижний ряд - слева направо, второй ряд - справа налево продолжает нумерацию и так далее до самого верха. Какую клетку нужно отметить, чтобы в результате складывания она оказалась на самом верху?

Чему равна сумма цифр находящихся на местах с простыми номерами в десятичной записи числа 2¹⁰⁰⁰⁰?

Найти сумму всех натуральных чисел меньших миллиона в записи которых во всех системах счисления с основаниями от 2 до 10 нет подряд идущих двух нулей?

В строке записаны символы A и B в произвольном порядке, длина строки - 100 символов. За один шаг можно переставить любую группу из последовательных символов A или B. За какое минимальное количество перестановок гарантированно можно упорядочить строку так, чтобы сначала были буквы A, а потом B?

Найдите максимальное из данных чисел и в ответ запишите произведение последних десяти цифр.

7241109^6793992, 8420107^6729722, 1159716^7685152, 5075272^6950376, 8427375^6729358, 1964837^7405537, 7055898^6805155, 8244615^6738623, 2080616^7376392, 2092123^7373597, 1625603^7503680, 5782933^6892109, 9817032^6665560, 1630694^7502039, 2188528^7350843, 9080891^6697988, 3450440^7128534, 8255210^6738079, 6464169^6843165, 1662223^7492010, 9598120^6674910, 8438327^6728810, 5325623^6928768, 6907456^6814344, 8884198^6707155, 3678567^7098347, 3597399^7108838, 4363524^7019067, 6566438^6836322, 1635631^7500454, 3352358^7142216, 9165081^6694133, 3307564^7148616, 1999154^7396699, 6827610^6819378, 5900694^6883197, 9494128^6679436, 2998722^7195603, 3422414^7132398, 2823024^7224853, 7417114^6783678, 2695837^7247346, 2764239^7235103, 2361771^7312682, 4790567^6976462, 6778362^6822517, 1990470^7398919, 8174740^6742226, 4871284^6968892, 3503508^7121314, 2868913^7217018

Имеется 100 камней с разными весами от 1 до 100 кг.

Сколько существует способов разбиения их на 2 кучи, при которых общий вес первой превосходит, но не более чем в 2 раза, общий вес второй?

Рассмотрим два треугольника:
A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)
Легко проверить, что треугольник ABC содержит начало координат, а треугольник XYZ - нет.

На плоскости заданы 20 точек. Их координаты приведены в таблице:

Сколько треугольников с вершинами в данных точках содержат начало координат?

На рисунке в клетки поля размером 5x5 записаны по спирали последовательно простые числа.

Запишите таким же образом, по спирали, последовательно простые числа в клетки поля размером 100x100. Начиная с левого нижнего поля необходимо пройти в правое верхнее поле, двигаться при этом можно только на одну клетку вправо или одну клетку вверх. Найдите такой путь, что сумма чисел в его клетках является максимальной. В ответ введите эту сумму.