Изучим целые положительные решения уравнения
1/x + 1/y =1/n

при различных натуральных n.
Для  n = 4 уравнение будет иметь ровно три различных решения:
1/5 + 1/20 = 1/4
1/6 + 1/12 = 1/4
1/8 + 1/8 = 1/4

Для какого n, не превышающего 15·10¹⁵, уравнение будет иметь больше всего решений?
Замечание: Эта задача - существенно усложненная версия задачи 197. Решить ее "в лоб" вряд ли удастся.

Будем называть возрастающим натуральное число, десятичные цифры которого не убывают слева направо, например 134468.
Аналогично, убывающим числом будем называть такое натуральное число, цифры которого не возрастают слева направо, например 864431.
Оказывается, что возрастающие числа встречаются реже, чем убывающие. Так, среди первых ста натуральных чисел имеется 54 возрастающих и 64 убывающих (18 чисел, состоящих из одинаковых цифр, являются сразу же и возрастающими, и убывающими), а в первой тысяче натуральных чисел - 219 возрастающих и 283 убывающих.
Обозначим через R(n) отношение количества убывающих чисел к количеству возрастающих среди первых n натуральных чисел. Например, оказывается, что R(11)=11/10, R(1127)=11/9.
Найти R(n), где n – число, состоящее из 111 единиц (Оказывается, это целое число).

Найдите все натуральные x, y, z, такие что  x+y+z < 10000000, x > y > z > 0 и x + y, x - y, x + z, x - z, y + z, y - z все являются полными квадратами. В ответ запишите сумму всех найденных чисел.

На плоскости нарисован квадрат, одна вершина квадрата имеет координаты (0,0), а противополжная по диагонали - (1000,1000). В каждой точке с целочисленными координатами, находящейся внутри квадрата, размещено наименьшее простое число ближайшее к длине радиус-вектора из начала координат в данную точку. Найдите сумму все простых чисел, размещенных в квадрате.

Найти количество единиц среди одного миллиона первых цифр десятичной записи числа sin (1).

Найдите сумму первых 100 цифр после запятой числа sin(sin(sin...(sin 1)...)) (sin повторяется 10 раз).

Замощение плоскости правильными шестиугольниками нумеруется начиная с 1 следующим образом: вначале один многоугольник выделяется и обозначается "1", затем против часовой стрелки начиная с направления вверх последовательно нумируется еще слой из 6 правильных многоугольников. И так далее каждый слой. Смотрите иллюстрацию, на ней пронумерованы первые три слоя.

Для каждого числа n найдем модули разности между ним и его шестью соседями. Определим PD(n) количество простых модулей разности среди них.

Например, для числа 8 модули разности такие: 12, 29, 11, 6, 1 и 13. Таким образом PD(8) = 3.

А для числа 17 разности: 1, 17, 16, 1, 11 и 10, то есть PD(17) = 2.

Можно показать, что значения PD(n) не превосходит 3, для любых n.

Выпишите все n делящиеся на 5, начиная с меньших n, для которых PD(n) равно 3. В ответ запишите 1000-е такое n.

Найти сумму первых 2010 цифр после запятой значения корня степени 2010 из 2010.

Шахматный конь ходит буквой "Г" - сначала в одну сторону на 2 клетки, а потом влево или вправо на одну. Новая шахматная фигура баран ходит как и конь, только сначала он ходит на 3 клетки.

Баран начал ходить с поля a1. Какое максимальное количество клеток он может посетить (включая первую) и при этом не наступая ни на одну из клеток дважды.