Найти сумму всех натуральных чисел меньших миллиона в записи которых во всех системах счисления с основаниями от 2 до 10 нет подряд идущих двух нулей?

В строке записаны символы A и B в произвольном порядке, длина строки - 100 символов. За один шаг можно переставить любую группу из последовательных символов A или B. За какое минимальное количество перестановок гарантированно можно упорядочить строку так, чтобы сначала были буквы A, а потом B?

Имеется 100 камней с разными весами от 1 до 100 кг.

Сколько существует способов разбиения их на 2 кучи, при которых общий вес первой превосходит, но не более чем в 2 раза, общий вес второй?

Рассмотрим два треугольника:
A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)
Легко проверить, что треугольник ABC содержит начало координат, а треугольник XYZ - нет.

На плоскости заданы 20 точек. Их координаты приведены в таблице:

Сколько треугольников с вершинами в данных точках содержат начало координат?

Обозначим через S(A) сумму элементов множества A. Будем называть множество целых положительных чисел особым, если для его любых двух непустых непересекающихся подмножеств B и C выполняются следующие условия:
1) S(B) ≠ S(C), т.е. их суммы элементов не могут быть одинаковы.
2) Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).
Например, множество {3,5,6,7} - особое, а множество {3,4,5,6} не является особым, так как не выполняется первое условие: 3+6 = 4+5.
Найдите количество особых множеств А, содержащих 7 элементов, для которых S(A) ≤ 333.

На рисунке в клетки поля размером 5x5 записаны по спирали последовательно простые числа.

Запишите таким же образом, по спирали, последовательно простые числа в клетки поля размером 100x100. Начиная с левого нижнего поля необходимо пройти в правое верхнее поле, двигаться при этом можно только на одну клетку вправо или одну клетку вверх. Найдите такой путь, что сумма чисел в его клетках является максимальной. В ответ введите эту сумму.

Последовательность Фибоначчи определяется рекуррентным соотношением:

F_n = F_n-1 + F_n-2, где F₁ = 1 и F₂ = 1.

317-ый член последовательности Фибоначчи равен

793591407804151926593793042126891128819610710140145037958273777397.

Три его первые цифры совпадают с тремя последними, но идут в обратном порядке. Это наименьший член последовательности, обладающий данным свойством.

Пусть F_k - наименьший член последовательности, у которого пять первых цифр совпадают с пятью последними, но идут в обратном порядке.

Найдите k.

Обозначим через S(A) сумму элементов множества A. Будем называть множество целых положительных чисел особым, если для его любых двух непустых непересекающихся подмножеств B и C выполняются следующие условия:
1) S(B) ≠ S(C), т.е. их суммы элементов не могут быть одинаковы.
2) Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).
Например, множество {3,5,6,7} - особое, а множество {3,4,5,6} не является особым, так как не выполняется первое условие: 3+6 = 4+5.

Найдите количество непустых особых множеств А, все элементы которых не превышают 50.

Обозначим через S(A) сумму элементов множества A. Будем называть множество целых положительных чисел особым, если для его любых двух непустых непересекающихся подмножеств B и C выполняются следующие условия:
1) S(B) ≠ S(C), т.е. их суммы элементов не могут быть одинаковы.
2) Если B содержит больше элементов, чем C, то S(B) > S(C).
Например, множество {3,5,6,7} - особое, а множество {3,4,5,6} не является особым, так как не выполняется первое условие: 3+6 = 4+5.

Предположим, что n элементов множества расположены в строго возрастающем порядке, и нам нужно проверить, является ли оно особым. Оказывается, что при n=4 из 25 пар подмножеств достаточно всего двух сравнений, а при n=7 достаточно 73 из 966 возможных сравнений.
Сколько нужно выполнить сравнений (из 86526 возможных), чтобы выяснить, является ли особым упорядоченное по возрастанию множество, состоящее из 11 натуральных чисел?

В умножении "столбиком" цифры зашифрованы "звездочками". Вместо любой "звездочки" может быть любая цифра.

      * * *
   x    * *
    -------
    * * * *
  * * * *
  ---------
  * * * * *

Сколько всего существует вариантов подстановок цифр вместо "звездочек" для данного примера?