Рассмотрим следующую игру, рассчитанную на двух участников.
Первоначально на игровом столе находится три кучки камней.
Игроки ходят по очереди. При каждом ходе игрок может взять один или несколько камней. Однако, если он берет камни из нескольких кучек, он должен взять из каждой кучки одинаковое количество камней.
Другими словами, игрок выбирает некоторое N>0 и забирает:

• N камней из одной кучки;
• или N камней из любых двух кучек (всего 2N камней);
• или по N камней из каждой кучки (всего 3N камней).

Проигрывает тот, кому камней не досталось.
Выигрышной называется позиция, когда первый игрок при правильной стратегии наверняка выигрывает. Например, позиции (0,0,13), (0,11,11) и (5,5,5) являются выигрышными, а первый игрок может выиграть одним ходом.
Проигрышной называется позиция, когда второй игрок при правильной стратегии наверняка выигрывает. Например, позиции (0,1,2) и (1,3,3) являются проигрышными, и как бы первый игрок не походил, второй всегда может выиграть.
Обозначим через x,y и z количество камней в трех кучках.
Существует 1184 проигрышных позиции при 0 ≤ x < y < z ≤ 100.
Найдите количество проигрышных позиций при 0 ≤ x < y < z ≤ 1000.

Рассмотрим число 6. Его делители – это 1,2,3 и 6. Все числа от 1 до 6 могут быть представлены в виде суммы различных делителей числа 6:
1=1; 2=2; 3=3; 4=1+3; 5=2+3; 6=6.
Будем называть число n практическим, если все числа от 1 до n включительно можно представить в виде суммы его различных делителей.
В этой задаче нас интересуют такие практические числа n, для которых числа n-8, n-4, n+4 и n+8 тоже являются практическими, а числа n+1, n+7, n+13 и n+19 являются последовательными простыми числами. Такие числа n будем называть техническими числами.
Первым (самым маленьким) техническим числом является 23320. Действительно, 23312, 23316, 23320, 23324 и 23328 – практические числа, а 23321, 23327, 23333 и 23339 – последовательные простые числа.
Найдите второе техническое число.

Возьмем число 1222354416 и запишем его в 4-ичной системе счисления, предварив запись двумя нулями. В результате получим последовательность цифр:

001020312322113300

Эта последовательность обладает следующими свойствами:

1. В ней 18 цифр.
2. Она начинается и заканчивается двумя последовательными нулями.
3. Все остальные пары последовательных цифр (01, 10, 02, 20, 03, 31, 12, 23, 32, 22, 21, 11, 13, 33 ,30)  встречаются в последовательности ровно по одному разу.

Найдите сумму чисел, чья запись в 4-ичной системе счисления удовлетворяет условиям 1-3. Ответ представьте в десятичной системе счисления.

У числа 12 шесть делителей: 1,2,3,4,6 и 12.

Наибольший его делитель, не превышающий квадратный корень из 12 равен 3.

Наименьший его делитель, превышающий квадратный корень из 12 равен 4.

Будем называть наибольший делитель числа n, не превышающий квадратный корень из n, нижним псевдокорнем из n или LPR(n), а наименьший делитель, превышающий квадратный корень из n- верхним псевдокорнем из n или HPR(n).

Например,  LPR(3102)=47 и  HPR(3102)=66.

Пусть p – произведение всех простых чисел, не превышающих 150.

Найдите  HPR(p) - LPR(p) 

Легко проверить, что  существует ровно 23 натуральных числа, не превышающих 1000 и имеющих ровно 4 различных простых делителя, не превышающих 100.
Найдите, сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10¹⁶ и имеющих ровно 4 различных простых делителя, не превышающих 100.

Для натурального числа n найдем такие натуральные x из промежутка 1<x<n, чтобы остаток от деления x³ на n был равен 1. Их сумму обозначим как S(n).
Например, при n=91 мы найдем 8 подходящих значений x, а именно: 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81. Поэтому S(91)=9+16+22+29+53+74+79+81=363.

Найдите S(123456789987654321).

Для натурального числа n найдем такие натуральные x из промежутка 1<x<n, чтобы остаток от деления x³ на n был равен 1. Их количество обозначим как C(n).
Например, при n=91 мы найдем 8 подходящих значений x, а именно: 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81. Поэтому C(91)=8.

Найдите сумму таких n≤10¹¹, для которых C(n)>100.

Рассмотрим уравнение вида a² + b² = N,  где N- некоторое нечетное натуральное число, и будем искать его натуральные решения (a, b), где a четно, и b нечетно.
При N=65 наше уравнение имеет два таких решения:
a=8, b=1 и a=4, b=7.
Обозначим через S(N) сумму значений a для всех решений уравнения a² + b² = N. Тогда S(65) = 8 + 4 = 12.

Найдите ∑S(N) для всех бесквадратных натуральных N,  имеющих простые делители только вида 4k+1, где k – натуральное число и 4k+1 < 150.

Примечание: бесквадратным (свободным от квадратов) называется натуральное число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1.

Попробуем построить признак делимости для делителя p > 1, взаимно простого с 10. Мы хотим найти для каждого натурального n другое число n₁, которое делится на p тогда и только тогда, когда n делится на p. Два целых числа называются равноделимыми на p, если либо они оба делятся на p, либо оба не делятся. Если b – последняя цифра числа n, и n=10a+b, мы будем искать n₁ в виде:
n₁ = a + b ? m.
Остается найти подходящее значение  m < p, которое будем  называть фактором делимости. Тогда для достаточно больших n мы сможем построить убывающую последовательность равноделимых чисел.
Например, для p=113 фактор делимости равен 34.
При n=76275 получим n₁ = 7627 + 5 * 34 = 7797, и оба числа 76275 и 7797 делятся на 113.
При n=12345 получим n₁ = 1234 + 5 * 34 = 1404, и оба числа 12345 и 1404 не делятся на 113.
Сумма факторов делимости для всех простых p вида 4k+3, не превышающих 1000, равна 19961.
Найдите сумму факторов делимости для всех простых p вида 4k+3, не превышающих 2*10⁷.

Определим модифицированную последовательность Коллатца как последовательность натуральных чисел, начинающуюся с числа a₁, а далее задаваемую рекуррентно по следующим правилам:

• a_n+1 = a_n/3, когда a_n делится на 3. Обозначим такой переход от  a_n к a_n+1 символом "D".
• a_n+1 = (4a_n + 2)/3, если a_n дает остаток 1 при делении на 3. Обозначим этот случай символом "U".
• a_n+1 = (2a_n - 1)/3 , если a_n дает остаток 2 при делении на 3.

Обозначим этот случай символом "d".
Последовательность заканчивается первой встретившейся единицей.
Например, при a₁ =231 получим последовательность чисел {231,77,51,17,11,7,10,14,9,3,1} и соответствующую строку символов - "DdDddUUdDD".
Для a₁ =1004064 получим строку символов DdDddUUdDDDdUDUUUdDdUUDDDUdDD, которая начинается с DdDddUUdDD.

Найдите все a₁<10¹⁵, у которых цепочка символов, соответствующая модифицированной последовательности Коллатца, начинается с dDUddDDUUUUUdDDUdUdDUdDUddUDUd.
В качестве ответа укажите их сумму.