Рассмотрим замкнутые ломаные, каждая из которых
• проходит через центры всех клеток шахматной доски 4×n,
• состоит из вертикальных и горизонтальных отрезков,
• не имеет самопересечений.
На рисунке изображена одна такая ломаная на доске 4×10:
 
Обозначим через T(n) количество таких ломаных для доски 4×n.
Можно показать, что T(10) = 1517.
Найдите остаток T (10¹²) по модулю 10⁸.

В зале театра 40 нумерованных мест, а продано всего 18 билетов. Сколькими способами можно рассадить зрителей так, чтобы ровно 8 из них сидели на своих местах?

Обозначим через σ(n) сумму делителей натурального числа n, например σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
Для совершенных чисел n, как вы, вероятно, знаете, σ(n) = 2n. Поэтому назовем коэффициентом совершенства отношение p(n)=σ(n) / n. У совершенных чисел коэффициент совершенства равен 2.
Найдите сумму таких натуральных n < 10¹⁸, у которых коэффициент совершенства является несократимой дробью со знаменателем 3.

Рассмотрим множество, состоящее из первых n натуральных чисел: {1,2,...,n}.
Обозначим через f(n,k) количество его k-элементных подмножеств, сумма элементов которых нечетна. Например, f(5,3) =4, поскольку множество {1,2,3,4,5} имеет четыре 3-элементных подмножества с нечетной суммой элементов: {1,2,4}, {1,3,5}, {2,3,4} и {2,4,5}.
Когда все три числа n, k и f(n,k) нечетны, будем говорить, что они образуют нечетный триплет, и обозначим через g(m) количество нечетных триплетов [n,k,f(n,k)] с n ≤ m.
Тогда g(10)=5, поскольку существует ровно 5 нечетных триплетов с n ≤ 10, а именно:
[1,1,f(1,1)=1], [5,1,f(5,1)=3], [5,5,f(5,5)=1], [9,1,f(9,1)=5] и[9,9,f(9,9)=1]
Найдите наименьшее m, при котором g(m) > 10¹⁸.

Существует несколько определений эллипса. Вот одно из них:
Эллипсом называется множество точек, равноудаленных от некоторой окружности и некоторой точки, лежащей внутри указанной окружности. Рисунок ниже поясняет это определение:

<page-break/>
Пусть задана окружность c с центром M(-2000,1500) и радиусом 15000, а также точка G(8000,1500). Множество точек, равноудаленных от G и c, образует эллипс e, как показано на следующем рисунке.

Рассмотрим теперь точку P с целочисленными координатами, лежащую во внешней области эллипса e, и проведем из нее прямые PS и PR, касающиеся эллипса e в точках S и R.
Подсчитайте, сколько существует на плоскости точек P с целочисленными координатами, для которых угол RPS между касательными к эллипсу  не менее 30 градусов?

Будем называть натуральное число k опорным, если существует такая пара натуральных чисел m≥0 и n≥k, для которых
(k-m)² + ... + k² = (n+1)² + ... + (n+m)²,
то есть сумма m+1 последовательных квадратов вплоть до k² включительно равна сумме m последовательных квадратов, начинающихся с (n+1)², например:
4: 3² + 4² = 5²
21: 20² + 21² = 29²
24: 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
110: 108² + 109² + 110² = 133² + 134²
Найдите сумму всех различных опорных чисел в промежутке 10⁹≤k≤10¹⁰.

В этой задаче мы будем рассматривать треугольники на плоскости со следующими свойствами:

• Координаты их вершин – целые числа;
• Центр описанной окружности совпадает с началом координат;
• Ортоцентр (точка пересечения высот) имеет координаты (5, 0).

Существует девять таких треугольников с периметром, не превышающим 50. Все они показаны на рисунке

A(-4, 3), B(5, 0), C(4, -3)
A(4, 3), B(5, 0), C(-4, -3)
A(-3, 4), B(5, 0), C(3, -4)

A(3, 4), B(5, 0), C(-3, -4)
A(0, 5), B(5, 0), C(0, -5)
A(1, 8), B(8, -1), C(-4, -7)

A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7)
A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7)
A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7) 
Сумма их площадей равна 445.
Найдите все треугольники, обладающие указанными свойствами, периметр которых не превышает 10⁵.
Легко показать, что сумма их площадей является целым числом. Она и будет ответом к этой задаче.

Рассмотрим треугольники, длины сторон которых выражаются целыми числами, и, кроме того, градусная мера хотя бы одного из углов — тоже целое число. Ограничимся при этом треугольниками с периметром, не превышающим 10⁸.
Найдите сумму их периметров.

Трехзначное число 376 в десятичной системе счисления обладает одним интересным свойством: его квадрат заканчивается теми же цифрами 3, 7 и 6, 376² = 141376.Будем называть натуральные числа, обладающие этим свойством, устойчивыми.

Устойчивые числа есть и в других системах счисления. Например, в системе счисления по основанию 14 устойчивым является число c37. Действительно, c37² = aa0c37. Наибольшее 10-значное устойчивое число в 14-ичной системе счисления равно 7337aa0c37. В десятичной записи это число равно 149429406721.

(В 14-ичной системе счисления буквами a, b, c и d мы обозначили цифры 10, 11, 12 и 13, подобно тому, как это делается в 16-ичной системе счисления.)

Найдите наибольшее 10000-значное устойчивое число в 14-ичной системе счисления, переведите его в десятичную систему, а в качестве ответа укажите 8 младших десятичных цифр.

Назовем пифагоровым многоугольником выпуклый многоугольник, обладающий следующими свойствами:

• Он имеет не менее  трех вершин
• Никакие три его вершины не лежат на одной прямой
• Все вершины имеют целые координаты
• Все стороны многоугольника имеют целочисленную длину

Обозначим через Q(n) количество различных пифагоровых многоугольников, периметр которых равен n. При этом различными будем считать многоугольники, которые нельзя преобразовать друг в друга путем параллельного переноса.

Тогда Q(4)=1, Q(30) =1242, Q(60) =248282.

Найдите Q(120).