img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
Рисунок
Rss

Задачи: Информатика   

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Показывать на странице:
Задачу решили: 7
всего попыток: 26
Задача опубликована: 12.03.12 08:00
Прислал: admin img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: Vkorsukov

У числа 12 шесть делителей: 1,2,3,4,6 и 12.

Наибольший его делитель, не превышающий квадратный корень из 12 равен 3.

Наименьший его делитель, превышающий квадратный корень из 12 равен 4.

Будем называть наибольший делитель числа n, не превышающий квадратный корень из n, нижним псевдокорнем из n или LPR(n), а наименьший делитель, превышающий квадратный корень из n- верхним псевдокорнем из n или HPR(n).

Например,  LPR(3102)=47 и  HPR(3102)=66.

Пусть p – произведение всех простых чисел, не превышающих 150.

Найдите  HPR(p) - LPR(p) 

Задачу решили: 4
всего попыток: 9
Задача опубликована: 19.03.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Представьте, что у вас появилась возможность вложить свой трудовой рубль и стать рублевым миллиардером.
Правила такие:
У вас есть один трудовой рубль. Каждый день вы инвестируете некоторую долю своего капитала  f , которую вы должны зафиксировать  раз и навсегда. Известно, что на следующий день ваши инвестиции удваиваются с вероятностью 1/2, но с такою же вероятностью вы их теряете.
Например, если вы выбрали f=1/4, то в первый день вы инвестируете 0,25 руб. Допустим, вам сопутствовала удача. Тогда к вечеру у вас будет 1,5 руб., и назавтра вы инвестируете 0,375 руб. Если фортуна на этот раз от вас отвернется, через два дня у вас останется 1,125 руб., а если повезет — 1,875 руб. Таким образом, при f=1/4 через два дня ваш капитал превысит 1,5 руб. с вероятностью 25%.
Вы решили стать миллиардером с вероятностью не менее 99% за минимальное количество дней. Сколько именно дней вам нужно запланировать на это, если вы выберете оптимальное значение f?

Задачу решили: 3
всего попыток: 58
Задача опубликована: 26.03.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: Vkorsukov

Легко проверить, что  существует ровно 23 натуральных числа, не превышающих 1000 и имеющих ровно 4 различных простых делителя, не превышающих 100.
Найдите, сколько существует натуральных чисел, не превышающих 1016 и имеющих ровно 4 различных простых делителя, не превышающих 100.

Задачу решили: 9
всего попыток: 10
Задача опубликована: 16.04.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Для натурального числа n найдем такие натуральные x из промежутка 1<x<n, чтобы остаток от деления x3 на n был равен 1. Их сумму обозначим как S(n).
Например, при n=91 мы найдем 8 подходящих значений x, а именно: 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81. Поэтому S(91)=9+16+22+29+53+74+79+81=363.

Найдите S(123456789987654321).

Задачу решили: 3
всего попыток: 4
Задача опубликована: 23.04.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Для натурального числа n найдем такие натуральные x из промежутка 1<x<n, чтобы остаток от деления x3 на n был равен 1. Их количество обозначим как C(n).
Например, при n=91 мы найдем 8 подходящих значений x, а именно: 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81. Поэтому C(91)=8.

Найдите сумму таких n≤1011, для которых C(n)>100.

Задачу решили: 4
всего попыток: 9
Задача опубликована: 30.04.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

Рассмотрим уравнение вида a2 + b2 = N,  где N- некоторое нечетное натуральное число, и будем искать его натуральные решения (a, b), где a четно, и b нечетно.
При N=65 наше уравнение имеет два таких решения:
a=8, b=1 и a=4, b=7.
Обозначим через S(N) сумму значений a для всех решений уравнения a2 + b2 = N. Тогда S(65) = 8 + 4 = 12.

Найдите ∑S(N) для всех бесквадратных натуральных N,  имеющих простые делители только вида 4k+1, где k – натуральное число и 4k+1 < 150.

Примечание: бесквадратным (свободным от квадратов) называется натуральное число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1.

Задачу решили: 5
всего попыток: 6
Задача опубликована: 07.05.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: TALMON (Тальмон Сильвер)

Попробуем построить признак делимости для делителя p > 1, взаимно простого с 10. Мы хотим найти для каждого натурального n другое число n1, которое делится на p тогда и только тогда, когда n делится на p. Два целых числа называются равноделимыми на p, если либо они оба делятся на p, либо оба не делятся. Если b – последняя цифра числа n, и n=10a+b, мы будем искать n1 в виде:
n1 = a + b ? m.
Остается найти подходящее значение  m < p, которое будем  называть фактором делимости. Тогда для достаточно больших n мы сможем построить убывающую последовательность равноделимых чисел.
Например, для p=113 фактор делимости равен 34.
При n=76275 получим n1 = 7627 + 5 * 34 = 7797, и оба числа 76275 и 7797 делятся на 113.
При n=12345 получим n1 = 1234 + 5 * 34 = 1404, и оба числа 12345 и 1404 не делятся на 113.
Сумма факторов делимости для всех простых p вида 4k+3, не превышающих 1000, равна 19961.
Найдите сумму факторов делимости для всех простых p вида 4k+3, не превышающих 2*107.

Задачу решили: 4
всего попыток: 8
Задача опубликована: 21.05.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: Vkorsukov

Рассмотрим треугольник, длины сторон которого – целые числа a, b и с, удовлетворяющие неравенству a ≤ b ≤ c.
Будем называть такой треугольник примитивным, если наибольший общий делитель длин его сторон равен 1, т.е. gcd(a, gcd(b,c))=1.

Подсчитайте, сколько существует различных примитивных треугольников, периметр которых – семизначное число.

Задачу решили: 9
всего попыток: 12
Задача опубликована: 28.05.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: Vkorsukov

Определим модифицированную последовательность Коллатца как последовательность натуральных чисел, начинающуюся с числа a1, а далее задаваемую рекуррентно по следующим правилам:

  • an+1 = an/3, когда an делится на 3. Обозначим такой переход от  an к an+1 символом "D".
  • an+1 = (4an + 2)/3, если an дает остаток 1 при делении на 3. Обозначим этот случай символом "U".
  • an+1 = (2an - 1)/3 , если an дает остаток 2 при делении на 3.

Обозначим этот случай символом "d".
Последовательность заканчивается первой встретившейся единицей.
Например, при a1 =231 получим последовательность чисел {231,77,51,17,11,7,10,14,9,3,1} и соответствующую строку символов - "DdDddUUdDD".
Для a1 =1004064 получим строку символов DdDddUUdDDDdUDUUUdDdUUDDDUdDD, которая начинается с DdDddUUdDD.

Найдите все a1<1015, у которых цепочка символов, соответствующая модифицированной последовательности Коллатца, начинается с dDUddDDUUUUUdDDUdUdDUdDUddUDUd.
В качестве ответа укажите их сумму.

Задачу решили: 3
всего попыток: 4
Задача опубликована: 04.06.12 08:00
Прислал: admin img
Источник: Проект "Эйлер" (http://projecteuler.net)
Вес: 1
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: TALMON (Тальмон Сильвер)

Даны n натуральных чисел  1 < a1  < a2 < ... < an. Будем рассматривать их линейные комбинации вида  q1a1 + q2a2 + ... + qnan = b, используя при этом только целые неотрицательные коэффициенты qk ≥ 0. Заметим, что таким образом можно получить далеко не всякое значение b. Например, при n=2, a1 = 5 и a2  = 7 правая часть b может принимать любые натуральные значения кроме двенадцати: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 16, 18 и 23. Обозначим количество таких недостижимых чисел через h(a1, a2, ..., an). Таким образом, h(5,7)=12.
Также можно проверить, что h(6, 10, 15)=15, и h(14, 22, 77) = 98.
Найдите сумму всех h(p*q,p*r,q*r), где p, q и r ? простые числа, и p < q < r < 5000.

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.