У Вас есть 200 одинаковых на вид, вес и ощупь шариков, ровно один из которых радиоактивен. Ещё имеется автомат, в который можно засунуть сколько угодно шариков, бросить 30 рублей и нажать кнопку. Если радиактивности нет, то загорается зелёная лампочка и автомат выдаёт 10 рублей сдачи. Если же обнаруживается радиоактивность, то загорается красная лампочка и никакой сдачи не выдаётся. Какой наименьшей суммой в рублях Вы должны располагать, чтобы гарантированно (т.е. при полном отсутствии везения) найти радиоактивный шарик?

Есть 4 кучи камней: в первой — 3 камня, во второй — 4, в третьей — 5, в четвёртой — 6. Играют двое, ходят по очереди. Каждым ходом разрешается либо взять один камень из любой (но только одной) кучи при условии, что после взятия в этой куче останется более одного камня, либо взять любую (но только одну) кучу целиком, при условии, что в этой куче не менее двух, но не более трёх камней. Выигрывает тот, кто возьмёт последний камень (сделает все кучи пустыми). Кто победит при правильной игре? Если первый игрок, введите 1, если второй — 2, если ничья — 0.

В компании N друзей. На протяжении нескольких дней, ежедневно, какие-нибудь трое из них ужинали вместе. Притом за это время каждые двое (из N) поужинали вместе ровно по одному разу. Какие остатки может давать N при делении на 6? В ответе введите без пробелов все возможные остатки в порядке возрастания.

Даны чашечные весы, имеющие особенность — они могут выдержать ровно 3 взвешивания (неважно в каком порядке) неравных грузов, после чего ломаются. Одинаковые веса можно уравновешивать на этих весах бесконечное количество раз. Среди N монет есть одна фальшивая, вес которой меньше настоящих. Найдите максимальное N при котором можно найти фальшивую не более, чем за 7 взвешиваний на этих весах.

У Вас есть 10 одинаковых стеклянных шариков. Вы бросаете их — можно по одному — с разных этажей 10¹⁵-этажного небоскрёба, чтобы выяснить, на каком этаже они начинают разбиваться от падения. (Например, на пятом уже разбиваются, а на четвёртом еще нет.) Разрешается сделать не более n бросков и разбить все 10 шариков. Найдите минимальное значение n, при котором ещё возможно гарантированно определить, при броске с какого именно этажа шарики начинают разбиваться. Учтите, что шарик может разбиться и на первом этаже, а может не разбиться и на последнем.

Сколькими способами можно расставить 8 королей на доске 2*16 (2 строки, 16 столбцов) так, чтобы они не угрожали друг другу (короли не должны располагаться рядом, в том числе и по диагонали}?

В одной кучке лежит n камней, а в другой – k камней. Каждую минуту автомат выбирает кучку, в которой четное число камней, и половину имеющихся в ней камней перекладывает в другую кучку (если в обеих кучках четное число камней, то автомат выбирает кучку случайным образом). Если в обеих кучках число камней оказалось нечетным, автомат прекращает работу. Сколько существует упорядоченных пар натуральных чисел (n, k), не превосходящих 1000, для которых автомат через конечное время обязательно остановится?

Дана белая клетчатая доска 10?10. Игрок хочет провести в каждой клетке диагональ и закрасить один из получающихся треугольников в черный цвет так, чтобы к любой границе двух клеток примыкали два одноцветных треугольника. Сколькими различным способами игрок может это сделать?

Рассмотрим поочередно всевозможные упорядоченные пары подмножеств данного 2013-элементного множества. Для каждой пары запишем число элементов в пересечении этих подмножеств. Какое число будет написано больше всего раз, когда будут рассмотрены все пары подмножеств?

Из бесконечной шахматной доски по границам клеток вырезана связная фигура (ладья может пройти из любой клетки в любую другую, не покидая доску, передвигаясь каждый раз на одну клетку). В вырезанной фигуре оказалось 2013 черных клеток. Каково максимальное возможное количество белых клеток в этой фигуре?