Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 31 32 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 777. Система неравенств

Задачу решили: 88

всего попыток: 120

Задача опубликована: 15.08.12 08:00

Прислал: georgp

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 2

Лучшее решение:

Volga (Xxx Xxx)

Заданы 3 системы неравенств

3x-y≤11, 2x-5y≤-10,

-4x+2y≤5, x+y≤10,

2x-y≤5, 4x-2y≥10.

Точки плоскости, координаты которых удовлетворяют данным системам, образуют некоторое множество. Найдите точку этого множества с максимальной суммой координат x и y. В ответе укажите эту сумму.

+ЗАДАЧА 782. Максимальная сумма

Задачу решили: 67

всего попыток: 101

Задача опубликована: 26.08.12 08:00

Прислал: georgp

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 1

Лучшее решение:

Dremov_Victor (Виктор Дремов)

Известно, что 1²x₁+2²x₂+3²x₃+...+200²x₂₀₀≤2040000, где x₁_, x_2,x₃ ,…. X₂₀₀ принимают значения 0 или 1.

Найти максимальное значение 1²x₁+2²x₂+3²x₃+...+200²x₂₀₀.

+ЗАДАЧА 793. Квадратичные иррациональности

Задачу решили: 43

всего попыток: 112

Задача опубликована: 21.09.12 08:00

Прислал: bbny

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 7

Лучшее решение:

Sam777e

Подмножество S действительных чисел строится следующим образом:

1. Число 1 принадлежит S

2. Для любой пары чисел a и b из S числа a+b, a-b, a*b, a/b (b ≠ 0), sqrt(a) (a >= 0) принадлежат S

Теперь для каждого числа из S определим ранг (целое неотрицательное число):

Будем говорить, что числа -1, 0 и 1 имеют ранг 0 в S, числа ранга k и ниже образуют подмножество S_k множества S, а числа, получаемые из пар чисел S_k пятью вышеуказанными бинарными и унарными операциями и не принадлежащие S_k, имеют ранг k+1.

Т.е. ранг - это минимальный номер шага, на котором мы можем получить число из исходного множества S₀ = {-1,0,1}

Найдите ранг числа

+ЗАДАЧА 797. Пат коню

Задачу решили: 57

всего попыток: 94

Задача опубликована: 01.10.12 08:00

Прислал: Vkorsukov

Источник: Фольклор

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: шахматы

решать >>

Комментарии: 2

Лучшее решение:

bbny

Если шахматному коню запретить дважды вставать на одно и тоже поле, то можно найти такое начальное положение коня, что через три хода он будет запатован (у него не будет возможных ходов). Например, поместим коня на поле f2, тогда после ходов 1.Ke4 2.Kg3 3.Kh1 - конь запатован. А можно ли запатовать коня на бесконечной шахматной доске? В ответе укажите минимальное достаточное количество ходов для достижения цели.

+ЗАДАЧА 798. Ровно четыре решения

Задачу решили: 43

всего попыток: 281

Задача опубликована: 03.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Angelina

Пусть $f(x) = x^2 -10x + \frac{p}{2}$ . Найдите такое натуральное $p$ , что уравнение $f \circ f \circ f (x) = f(x)$ имеет ровно 4 различных действительных решения.

+ЗАДАЧА 805. Уравнение в целых числах

Задачу решили: 65

всего попыток: 105

Задача опубликована: 19.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

zmerch

Для натуральных чисел a, b, c справедливо равенство

$\cfrac{a^3}{(b + 3)(c + 3)} + \cfrac{b^3}{(c + 3)(a + 3)} + \cfrac{c^3}{(a + 3)(b + 3)} = 7.$

Найдите значение a + b + c.

+ЗАДАЧА 809. Периодическая последовательность

Задачу решили: 46

всего попыток: 61

Задача опубликована: 29.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

levvol

Последовательность целых чисел $\{a_n\}$ такова, что $a_1 = 1$ , $a_2 = 2$ , и для некоторого натурального k выполняется

$a_{n+k} = a_n, \quad n = 1, 2, \ldots$

Также известно, что последовательность $b_n = a_{n+2} - a_{n+1} + a_n$ обладает следующим свойством

$b_{n+1} = \cfrac{1 + b_n^2}{2},\quad n = 1, 2, \ldots$

Найдите значение $\sum \limits_{n = 1} ^{60} a_n$ .

+ЗАДАЧА 817. Минимальное значение

Задачу решили: 87

всего попыток: 132

Задача опубликована: 16.11.12 08:00

Прислал: pvpsaba

Источник: Грузинская национальная олимпиада по математи...

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Vkorsukov

Найти минимальное значение выражения: x⁸+y⁸-3x²y², х и у - действительные числа.

+ЗАДАЧА 823. Арифметические прогрессии

Задачу решили: 69

всего попыток: 88

Задача опубликована: 30.11.12 08:00

Прислал: nauru

Источник: Кубок Колмогорова

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Sam777e

Даны две арифметические прогрессии a₁, a₂… и b₁, b₂, …. (арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой a_n = a_n–1+d, где d — некоторое число, единое для всей последовательности). Известно, что a₁ = b₁, и для каждого номера i остатки от деления a_i и b_i на i совпадают. Найдите значение выражения a₂₀₁₂- b₂₀₁₂.