Классный руководитель отправил своих учеников Антона, Бориса, Вадима, Григория и Дмитрия на олимпиаду по математике и предположил, что Антон займет первое место, Борис - второе, Вадим - третье, Григорий - четвертое и Дмитрий - пятое. Оказалось, что он не угадал ни одного правильного места, и ни одной пары следующей непосредственно друг за другом учеников. Учитель математики предположил, что последовательность будет такой: Григорий, Антон, Дмитрий, Вадим, Борис и угадал места двоих учеников и две пары непосредственно следующих друг за другом учеников. Установите верный порядок. В ответе укажите последовательность цифр 1 (соответствует Антону), 2 (соответствует Борису) и т.д. в порядке от первого места до последнего. Например, если бы учитель математики был прав, то ответом было бы число - 41532.

Пять точек на плоскости расположены так, что среди всех прямых соединяющих любые две из них нет параллельных, совпадающих и перпендикулярных друг другу. Через каждую из исходный точек проводятся перпендикуляры ко всем прямым, соединяющим каждые две из остальных четырех точек. Какое максимальное количество точек пересечения этих перпендикуляров между собой окажется, не считая исходных пять точек.

На левом чертеже содержится большое количество различных n-угольников для различных n. На правом чертеже показан пример одного n-угольника для n=10.

Найдите максимально возможное n.

Ответ необходимо обосновать: показать, что многоугольник с найденным вами количеством сторон n существует, и доказать, что это n является максимальным.

Сколькими способами можно разбить число 64 на 10 натуральных слагаемых, наибольшее из которых равно 12. (Разбиения, отличающиеся только порядком слагаемых, не считаются различными.)

У Кости есть игрушечная железная дорога в виде кольца, состоящая из n=13 равных дуг.

Костя решил докупить ещё несколько таких же дуг, чтобы удлинить путь (при этом он уже не будет круговым, но должен остаться замкнутым и без самопересечений). Какое минимальное количество дуг ему хватит, чтобы осуществить задуманное?

В правильном шестиугольнике со стороной 3 нарисовали сетку из единичных равносторонних треугольников (смотри рисунок).

Художник время от времени подходит к рисунку с шестиугольником, окунает кисть в банку с краской и закрашивает по линиям сетки весь контур одного равностороннего треугольника любого размера. При этом контур очередного закрашиваемого треугольника может проходить по каким-то ранее закрашенным местам.

За какое минимальное количество подходов художник может закрасить всю сетку (включая границу шестиугольника)?

На рисунке изображён пример частичного закрашивания сетки после 4-х подходов (исключительно для красоты художник использовал разные цвета).

В качестве решения необходимо предъявить доказательство минимальности того количества подходов, которое вы нашли.