На плоскости проведено n прямых, которые, пересекаясь между собой, образуют n не перекрывающих друг друга пятиконечных звёзд, то есть число звезд оказалась равным числу прямых. На рисунке показан пример для n=57. Придумайте конструкцию для n<57.

Уточнения.
1). Звезды не обязательно равные;
2). Прямые не обязательно параллельны.

Ученик написал на доске несколько натуральных трёхзначных чисел, в которых средняя цифра равна 0, а первая и последняя цифры — ненулевые. Сумма всех выписанных чисел равна 2026. Затем в каждом числе он поменял местами первую и последнюю цифры. После этого сумма всех чисел стала равна S. Найдите наибольшее возможное значение S.

В трех ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество четно, больше 45 и меньше 65?

Ученик написал на доске несколько натуральных пятизначных чисел, у которых вторая и четвертая цифры – нули, остальные цифры – ненулевые. Сумма всех выписанных чисел равна 200026. Затем в каждом числе он поменял местами первую и последнюю цифры. После этого сумма всех чисел стала равна S. Найдите наибольшее возможное значение S.

График уравнения sin(y)=cos(x) разбивает координатную плоскость бесконечное множество равных частей. Найдите площадь S одной части. В ответе укажите целую часть 10000S.

Решить уравнение sinx + cosx + tgx = 1. Найти наименьший положительный корень в радианах с точностью до тысячных долей (в качестве десятичного разделителя используйте запятую).

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше −120. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

На плоскости заданы следующие точки: L₁, L₂, L₃, R₁, R₂, R₃ и проведены отрезки: L₁R₂ и L₂R₁, L₂R₃ и L₃R₂, L₁R₃ и L₃R₁, а также отрезок MN, где: M – точка пересечения отрезков L₁R₂ и L₂R₁, N - точка пересечения отрезков L₂R₃ и L₃R₂. Эти 7 отрезков делят плоскость на несколько непересекающихся областей. Среди этих областей имеются различные многоугольники.

Вычислите и введите в ответе такое число: количество 3-угольников + умноженное на 10 количество 4-угольников + умноженное на 100 количество 5-угольников.

Обратите внимание, что здесь, кроме зеленых и белых многоугольников, имеются зелено-белые многоугольники.

Бесконечное семейство синусоид задается формулой у = (–1)ⁿ∙sinx + 2n, где n∈Z, и разбивает координатную плоскость на бесконечное множество равных частей. Найдите площадь S одной части. В ответе укажите отношение площади S к площади прямоугольника со сторонами 7 и 3∏. Здесь ∏ - число Пи.

На иранской почтовой марке 1982 года, посвященной международному дню связи, изображена фигура, составленная из единичных кубиков.

Выясните принцип построения таких фигуры. Найдите количество кубиков в фигуре, на внешнем ребре которой 44 кубика. Например, если на внешнем ребре фигуры 2 кубика, то она составлена из 7 кубиков, если на внешнем ребре фигуры 4 кубика, то она составлена из 44 кубиков, т.д.