Ученик написал на доске несколько натуральных пятизначных чисел, у которых вторая и четвертая цифры – нули, остальные цифры – ненулевые. Сумма всех выписанных чисел равна 200026. Затем в каждом числе он поменял местами первую и последнюю цифры. После этого сумма всех чисел стала равна S. Найдите наибольшее возможное значение S.

Прямоугольник разделили прямой, параллельной одной стороне так, что площади частей относятся 1:2, периметры 3:5 (в таком же порядке). Как будут относиться периметры, если разделить прямой, перпендикулярной этой стороне так, что площади частей относятся 1:2?

Даны окружность с центром в точке O и радиусом 7, точка P, |OP|=11, отрезок AB, проходящий через точку O и перпендикулярный прямой OP, |AO|=1, |OB|=3, |AB|=4.

Прямая, проходящая через точки A и P, пересекает окружность в точках A₁ и A₂. Прямая, проходящая через точки B и P, пересекает окружность в точках B₁ и B₂.

Прямые A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точке C₁. Прямые A₁B₂ и A₂B₁ пересекаются в точке C₂. Прямая С₁С₂ пересекает окружность в точках D₁ и D₂. Найдите угол OD₁P в градусах.

График уравнения sin(y)=cos(x) разбивает координатную плоскость бесконечное множество равных частей. Найдите площадь S одной части. В ответе укажите целую часть 10000S.

В равнобедренный треугольник АВС (АС-основание) вписана окружность. На продолжении отрезка АС на прямой отмечена точка D так, что |АС|=|СD|. Из точки D проведена касательная к окружности, пересекающая сторону АВ в точке Е так, что |ЕВ|:|АВ|=1:8. Найти отношение боковой стороны к основанию.

На гипотенузе АВ расположен центр окружности, которая проходит через вершину В, пересекает гипотенузу в точке D, катет ВС в точке Е и касается катета АС в точке F. Найти радиус этой окружности, если отрезки |СЕ|=3, |AF|=10. 

На плоскости заданы следующие точки: L₁(1, -1), L₂(4, -2), L₃(25, -5), R₁(1, 1), R₂(9, 3), R₃(16, 4).

Проведены отрезки: L₁R₂ и L₂R₁, L₂R₃ и L₃R₂, L₁R₃ и L₃R₁, а также отрезок MN, где: M – точка пересечения отрезков L₁R₂ и L₂R₁, N - точка пересечения отрезков L₂R₃ и L₃R₂.

Эти 7 отрезков делят плоскость на несколько непересекающихся ("пустых внутри") областей (оси координат не нарисованы). Среди этих областей имеются различные многоугольники.

Вычислите и введите в ответе такое число: количество 3-угольников, + умноженное на 10 количество 4-угольников, + умноженное на 100 количнство 5-угольников.

В четырехугольнике АВСD углы А=70°, В=50°, стороны AD и ВС равны между собой. В середине стороны АВ отмечена точка К, в середине стороны CD отмечена точка М. Найти угол АКМ в градусах.