img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
+ 1

Задача 2330. Найдите ошибку

постоянный адрес задачи: http://www.diofant.ru/problem/4115/
показать код для вставки на свой сайт >>
Задачу решили: 7
всего попыток: 17
поделиться задачей:

Задача опубликована: 09.05.22 08:00
Вес: 1
сложность: 1 img
баллы: 100

«Докажем», что любое число ε>0 оно не меньше 1. Естественно, это «доказательство» содержит ошибку. Найдите в каком утверждении ошибка.

Пусть ε - любое положительное число.

1. Как известно, множество рациональных чисел в отрезке [0, 1] счётно и всюду плотно.

2. Пронумеруем его элементы: r1, r2, r3, ...

3. Построим вокруг них окрестности: mn = (rn – ε/2n+1, rn + ε/2n+1), n=1, 2, 3, ...

4. Рассмотрим множество U – объединение всех этих окрестностей. Его мера m(U) меньше или равна сумме мер составляющих: Σm(mn) = ε.

5. Множество U, как объединение открытых множеств, также является открытым множеством.

6. Как открытое множество на числовой прямой, множество U может быть представимо как объединение конечного или счётного множества взаимно непересекающихся интервалов u1, u2, u3, ...

7. Рассмотрим какие-нибудь два соседних из этих интервалов (т.е. любой один из них + ближайший к нему с той или другой стороны). Они либо лежат вплотную друг к другу, т.е. имеют общий конец, либо между ними есть зазор.

8. Если между ними есть зазор, это означает, что первоначально не были охвачены все рациональные числа. Следовательно, остаётся только вариант общего конца.

9. Таким образом, множество U покрывает весь отрезок [0, 1] кроме не больше чем счётное множество общих концов, имеющее меру 0.

10. Следовательно, мера множества U не меньше 1, и ε ≥ 1.

 
Пожалуйста, не пишите нам, что Вы не можете решить задачу.
Если Вы не можете ее решить, значит Вы не можете ее решить :-)

Обсуждение Правила >>

Внимание! В обсуждении задачи запрещено публиковать ответы и давать подсказки.
Аватар 09.05.22 15:54

Полагая, что в упоминании "известных фактов" ошибок нет, у меня вопрос по п. 6.

Хоть в данной задаче множество U не могло "далеко уйти" от отрезка [0, 1], но в общем случае открытое множество U могло бы быть и всей числовой осью от минус до плюс бесконечности.

Как в таком случае оно представлялось бы "как объединение конечного или счётного множества взаимно непересекающихся интервалов u1, u2, u3, ..." ?

Мне нравится: + | пожаловаться
Аватар 09.05.22 16:13

Ошибка действительно НЕ в упоминаемых "известных фактах".

Вся числовая ось является одним бесконечным интервалом.

Мне нравится: + | пожаловаться
Аватар 10.05.22 13:56

Подробное решение - даже ни один параграф теории меры, или достаточно одного факта из той же теории меры?

Мне нравится: + | пожаловаться
Аватар 10.05.22 17:56

Я не очень понял Ваш вопрос.

Ответом является целое число - номер пункта, содержащего ошибку.

В "подробном решении" надо просто написать, в чём заключается эта ошибка.

Мне нравится: + | пожаловаться
 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.