Определить сумму всех целых положительных чисел n < 1000 таких, что  из n прямоугольников с размерами 1×n, 2×n, 3×n, ..., n×n можно cложить квадрат. (Прямоугольники нельзя накладывать друг на друга.)

Рассмотрим всевозможные замкнутые цепочки правильных n-угольников одинакового размера, центры которых лежат на одной окружности (образуя некоторый правильный многоугольник), и каждые два последовательных многоугольника имеют одну общую сторону. Например, при n=8 существуют ДВЕ такие цепочки.

Однако, коллега aaa_uz выдвинул интересную идею о расширении определения таких замкнутых цепочек, используя дополнительные "витки обхода": в случае не замыкания цепочки одним витком обхода, продолжать добавлять новые n-угольники (залезая на старые), пока цепочка не замкнётся: последний n-угольник будет иметь общую сторону с первым.

В случае нескольких витков обхода центры n-угольников образуют самопересекающуюся замкнутую ломаную ("звезду"), совершая определённое количество витков обхода вокруг центра цепочки. При n=8 существует ровно ОДНА такая цепочка. Она использует ТРИ витка обхода. Всего существует ТРИ цепочки 8-угольников в расширенном определении:

Обозначим f(n) суммарное количество витков обхода всех цепочек n-угольников. Таким образом, f(8) = 1+1+3 = 5. Найдите f(10403).

Однажды в колхозе некий работник договорился о зарплате за 12 месяцев работы с 1-го Апреля:  800 рублей плюс Кляча, которая стоила всегда в целых рублях, но не более 50-ти! По причине форс-мажора, работник был вынужден уволиться после 7 месяцев работы, и ему заплатили: 490 рублей + Кляча. Всё честно! Сколько рублей стоила Кляча на момент договорённости?

В выражении разные буквы соответствуют разным цифрам, найдите его значение.

(С+Н+Е+Г+У+Р+О+Ч+К+А)*(С+Н+Е+Г+У+Р+О+Ч+К+А) - (СНЕГ)/(СНЕГ)=?

a/b + b/c + c/a=3,
b/a + c/b + a/c=2.
(a/b)³ + (b/c)³ + (c/a)³=?

На рисунке изображены две равные фигуры: слева желтая фигура, сложенная из 18 желтых U-пентамино, справа – зеленая фигура, сложенная из 30 зеленых I-тримино, употребив таким образом 18+30=48 фигурок.

Сложите две равные фигуры, одну желтую, другую зеленую, употребив суммарно наименьшее количество желтых U-пентамино и зеленых I-тримино.

При каком значении параметра P система:

x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 8x₄ + 8x₅ = 16
x₁ + 3x₂ + 9x₃ + 27x₄ + 24x₅ = 81
x₁ + 4x₂ + 16x₃ + 64x₄ + 56x₅ = 256
x₁ - 3x₂ + 9x₃ - 27x₄ + P*x₅ = 81
x₁ - 2x₂ + 4x₃ - 8x₄ - 16x₅ = 16

не имеет решения?

В футбольном турнире каждая команда сыграла с каждой из остальных ровно по одному разу, причём ровно половина команд ни разу не выиграли, а ровно пятая часть игр закончились вничью.

Сколько команд участвовало в турнире?

На рисунке слева изображены три несимметричных пентамино, справа приведена фигура, сложенная из этих пентамино и имеющая ось симметрии.

Сколько различных фигур, имеющих ось симметрии, можно сложить из этих трех пентамино?

В области, ограниченной параболой y = 8 − x² и осью Ox, находится 25 целочисленных точек (см. рис.).

При каком натуральном значении k количество точек с целочисленными координатами, находящимся внутри области, ограниченной параболой y = k − x² и осью Ox равно 2024.