Даны числа 1, 2,..., N, каждое из которых окрашено либо в черный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашиватьв противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. Найти минимальное N при которо можно сделать все числа белыми?

Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные — по 100 г. За какое минимальное количество взвешиваний на весах со стрелкой и делениями по 1 грамму можно определить все 99-граммовые детали?

В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки< доски размера 10x10 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более, чем пяти различных цветов?

На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно 1 знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно 2, 3, 4, . . . , 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода. Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?

Выпуклый многоугольник разрезают непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники. Какое максимальное количество способов возможно.

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее числом игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью — одно, за поражение — ноль?

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: - Кто Ваш сосед справа — умный или дурак?
В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F. При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

Число 2100010006 обладает таким свойством: первая цифра равна количеству единиц в числе, вторая - двоек, и так далее, последняя - нулей.  Найдите максимальное девятизначное число с "обратным" свойством, т.е. такое, в котором первая цифра соотвествует количеству "не единиц", вторая - "не двоек" и т.д., последняя - "не девяток".

Матрицу 10x10 заполнили целыми числами от 1 до 100 так, что сумма любых двух чисел на соседних клетках не превосходит некоторого целого числа M. Найдите минимально возможное M.

В чемпионате по шахматам участвовало 16 игроков. После его окончания каждому участнику выдали отчет на 16 страницах. На первой указано имя участника, на второй - он и те, у кого он выиграл, на третьей - все люди из второго списка и те, у кого они выиграли, и т.д. на последней, 16-й, все участники со страницы 15 и те, у кого они выиграли. Известно, что для любого участника на его последнюю страницу попал человек, которого не было в его одиннадцатом списке. Какое максимальное количество партий чемпионата могло быть сыграно вничью?