img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img img
Логотип Человек живет, пока думает.
Решайте задачи и живите долго!
Для участия в проекте необходимо
и достаточно зарегистрироваться!
Rss Регистрация || Вход
Вход
Diofant.ru
Картинка
Отражение Отражение Картинка Картинка
Рисунок
Rss

Задачи: Математика   

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)
Показывать на странице:
Задачу решили: 22
всего попыток: 26
Задача опубликована: 28.09.22 08:00
Прислал: admin img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: mda

Пусть f(x) - многочлен такой, что f(f(x))−x2 = xf(x). Найти f(2022).

Задачу решили: 24
всего попыток: 30
Задача опубликована: 24.10.22 08:00
Прислал: avilow img
Источник: авторская
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Лучшее решение: mda

n-ый член последовательности 1, 6, 8, 20, 21, 40, 40, 66, 65, 98, 96, … — это число бесконечной таблицы Пифагора, которого достигает шахматный конь, сделавший n ходов, двигаясь по бесконечной ломаной линии, начиная с числа 1. Маршрут шахматного коня представляет собой бесконечную зигзагообразную ломаную линию, начало которой изображено на рисунке для таблицы 13х13.

Последовательность в таблице Пифагора

Все звенья ломаной имеют одинаковую длину и равны длине прыжка шахматного коня. Соседние звенья ломаной перпендикулярны, попеременно меняют направление влево, вправо, влево, вправо, ...

Пусть a0=1, a1=6, a2=8. Найдите a111.

Задачу решили: 22
всего попыток: 26
Задача опубликована: 14.11.22 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: user033 (Олег Сopoкин)

Рассмотрим бесконечную клетчатую плоскость, в каждую клетку которой вписано число натурального ряда, – по порядку, начиная с 1, следуя по спирали (см. рис.). Спираль для определенности будем считать закручивающейся по часовой стрелке. 

Последовательность на спирали

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре клетки с числом 1 и осями, параллельными сторонам клеток. Нарисуем ветвь параболы y=√x и рассмотрим на ней точки с целыми координатами. Каждая такая точка определяет клетку плоскости, а значит, и написанное в ней число. Например, точке параболы (0; 0) соответствует число 1, точке (1; 1) — число 9, а точке (4; 2) — число 51. Пусть an — число, соответствующее точке (n2;n) параболы; тогда  a0=1, a1=9, a2=51, a3=295, ... Найдите  23-й член последовательности (an).

Задачу решили: 19
всего попыток: 23
Задача опубликована: 16.11.22 08:00
Прислал: avilow img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100

В координатной плоскости Oxy задана парабола y=x2, на которой отмечены все ее точки с целыми координатами.

Хорды параболы

Проведены всевозможные хорды параболы, с концами в отмеченных точках.  Расположим хорды в порядке возрастания их длины, без повторений, и рассмотрим последовательность квадратов длин этих хорд. Начало последовательности выглядит так: 2, 4, 10, 16, 18, 20, 26, …. На рисунке изображена хорда AB, которой соответствует а12 = 42+82 = 80. Найдите 64-ый член последовательности.

Задачу решили: 24
всего попыток: 30
Задача опубликована: 09.12.22 00:08
Прислал: DOMASH img
Вес: 1
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: avilow (Николай Авилов)

Найдите количество хорд с концами в целочисленных точках параболы y = x2 при |x| <= 9*12 (=108)? В ответе укажите это количество хорд, делённое на 12.

P.S. С Днем Рождения, Николай Иванович!

Задачу решили: 24
всего попыток: 42
Задача опубликована: 14.12.22 00:08
Прислал: admin img
Вес: 2
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: aaa_uz

Пусть положительные действительные числа a ≥ b ≥ c такие, что 2b/(b+c) + a/c + 2c/(a+c) = 17. Найдите максимум a/(b+c)+b/(c+a).

Задачу решили: 23
всего попыток: 30
Задача опубликована: 16.12.22 00:08
Прислал: admin img
Вес: 1
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: Vkorsukov

Найдите количество целых решений уравнения:
x2022+(2022!+1!)x2021+(2021!+2!)x2020+ ... + (1!+2022!)=0, где n!=1*2*...*n.

Задачу решили: 25
всего попыток: 42
Задача опубликована: 19.12.22 00:08
Прислал: admin img
Вес: 2
сложность: 1 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: solomon

Известно, что 
3\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c}, где a, b, c - натуральные числа. Найти a+b+c.

Задачу решили: 22
всего попыток: 34
Задача опубликована: 23.12.22 00:08
Прислал: admin img
Вес: 1
сложность: 2 img
класс: 8-10 img
баллы: 100
Темы: алгебраimg
Лучшее решение: aaa_uz

Целочисленная функция f(x) (f: Ν+ → N+) такая, что 0 < f(a) < f(b) для всех a < b и f(f(x)) = 3x. Найдите f(2023)+f(2022)+f(2021)-3f(2020).

 
Внимание! Если Вы увидите ошибку на нашем сайте, выделите её и нажмите Ctrl+Enter.