Даны чашечные весы, имеющие особенность — они могут выдержать ровно 3 взвешивания (неважно в каком порядке) неравных грузов, после чего ломаются. Одинаковые веса можно уравновешивать на этих весах бесконечное количество раз. Среди N монет есть одна фальшивая, вес которой меньше настоящих. Найдите максимальное N при котором можно найти фальшивую не более, чем за 7 взвешиваний на этих весах.

У Вас есть 10 одинаковых стеклянных шариков. Вы бросаете их — можно по одному — с разных этажей 10¹⁵-этажного небоскрёба, чтобы выяснить, на каком этаже они начинают разбиваться от падения. (Например, на пятом уже разбиваются, а на четвёртом еще нет.) Разрешается сделать не более n бросков и разбить все 10 шариков. Найдите минимальное значение n, при котором ещё возможно гарантированно определить, при броске с какого именно этажа шарики начинают разбиваться. Учтите, что шарик может разбиться и на первом этаже, а может не разбиться и на последнем.

Среди X монет одна фальшивая (более лёгкая). Известно, что её заведомо можно найти не более, чем за 100 взвешиваний на чашечных весах без гирь, при этом каждую монету нельзя взвешивать более двух раз. Найдите наибольшее значение X.

Двум математикам сообщили по натуральному числу. Они знают, что эти числа отличаются на единицу и меньше 2013. Математики по очереди могут  задавать друг другу вопрос: «Знаешь ли ты мое число?» Какое минимальное количество вопросов гарантирует, что рано или поздно кто-то из них ответит «да»? Математики, разумеется, гениальны и всегда говорят правду.

На клетках шахматной доски размера 100×100 написаны числа 1, 2, 3, 4, так что в любом квадрате 2×2 в клетках написаны разные числа. Чему равна сумма чисел в угловых клетках доски.

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: - Кто Ваш сосед справа — умный или дурак?
В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F. При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

Матрицу 10x10 заполнили целыми числами от 1 до 100 так, что сумма любых двух чисел на соседних клетках не превосходит некоторого целого числа M. Найдите минимально возможное M.

Имеется три стопки монет. За один ход можно из одной стопки переложить одну монету в другую. За ход Вовочка зарабатывает количество монет, равное разнице числа монет в стопке, из которой берется монета и числа монет в которую перекладывается. Если разница отрицательная, то у Вовочки забирается соответствующая сумма, если не хватает, то можно делать ходы в долг.

В какой-то момент после перекладывания, все монетки оказались в первоначальных стопках. Какое максимальное количество монет мог заработать Вовочка?

Сколько различных прямых можно провести через все пары точек, расположенных в узлах квадратной решетки 100х100?

Есть три стержня: A, B и C. На стержень A надеты 8 колец (дисков), наверху самое маленькое, каждое следующее больше предыдущего, а внизу самое большое. Два других стержня пусты. Необходимо перенести все кольца со стержня A на стержень C, пользуясь стержнем B как вспомогательным. В итоге кольца на стержне C должны быть в том же порядке, в котором они исходно находились на стержне A. Брать за один ход несколько колец нельзя. Кроме того, никогда нельзя класть большее кольцо поверх меньшего.

Запрещается переносить кольца между стержнями A и C напрямую.

За один ход перенести кольцо можно только либо с A на B (или обратно с B на A), либо с B на C (или обратно). Сколько ходов потребуется для переноса башни из 8 колец с A на C?