Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ... 34 35 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 787. Треугольник и окружность

Задачу решили: 35

всего попыток: 79

Задача опубликована: 07.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 13

Лучшее решение:

zmerch

В треугольнике ABC

$\angle ABC < 90^\circ, \quad AB = 15, \quad BC = 27.$

Через середину M стороны AC провели прямую l перпендикулярно прямой BC. Прямая l пересекает окружность с центром в точке A и проходящую через точку M в точке $P(\ne M)$ . Рассмотрим окружность, проходящую через точки B и M, центр O которой лежит с точкой A по разные стороны от прямой BC и находится на расстоянии 3 от BC.

Обозначим пересечение этой окружности с прямой l за Q. Найдите площадь треугольника OPM, если PQ = 30.

+ЗАДАЧА 793. Квадратичные иррациональности

Задачу решили: 43

всего попыток: 112

Задача опубликована: 21.09.12 08:00

Прислал: bbny

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 7

Лучшее решение:

Sam777e

Подмножество S действительных чисел строится следующим образом:

1. Число 1 принадлежит S

2. Для любой пары чисел a и b из S числа a+b, a-b, a*b, a/b (b ≠ 0), sqrt(a) (a >= 0) принадлежат S

Теперь для каждого числа из S определим ранг (целое неотрицательное число):

Будем говорить, что числа -1, 0 и 1 имеют ранг 0 в S, числа ранга k и ниже образуют подмножество S_k множества S, а числа, получаемые из пар чисел S_k пятью вышеуказанными бинарными и унарными операциями и не принадлежащие S_k, имеют ранг k+1.

Т.е. ранг - это минимальный номер шага, на котором мы можем получить число из исходного множества S₀ = {-1,0,1}

Найдите ранг числа

+ЗАДАЧА 794. Касающиеся окружности

Задачу решили: 26

всего попыток: 91

Задача опубликована: 24.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 2

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 3

Лучшее решение:

Vkorsukov

Описанная окружность $O$ треугольника $ABC$ касается окружности $O'$ в точке $A$ . Пусть прямая $AB$ пересекает окружность $O'$ в точке $D(\ne A)$ ; прямая $BC$ пересекает окружность $O'$ в точке $E$ , лежащей с точкой $C$ по разные стороны от прямой $AD$ , и точке $F$ . Касательная к окружности $O$ в точке $B$ пересекает отрезок $DF$ в точке $K$ , прямая $CD$ пересекает окружность $O'$ в точке $L(\ne D)$ . Найдите величину (в градусах) $\angle CAB$ , если $\angle CFA = 38^\circ$ , $\angle DKB = 47^\circ$ , $\angle CLA = 60^\circ$ .

+ЗАДАЧА 798. Ровно четыре решения

Задачу решили: 43

всего попыток: 281

Задача опубликована: 03.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Angelina

Пусть $f(x) = x^2 -10x + \frac{p}{2}$ . Найдите такое натуральное $p$ , что уравнение $f \circ f \circ f (x) = f(x)$ имеет ровно 4 различных действительных решения.

+ЗАДАЧА 805. Уравнение в целых числах

Задачу решили: 65

всего попыток: 105

Задача опубликована: 19.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

zmerch

Для натуральных чисел a, b, c справедливо равенство

$\cfrac{a^3}{(b + 3)(c + 3)} + \cfrac{b^3}{(c + 3)(a + 3)} + \cfrac{c^3}{(a + 3)(b + 3)} = 7.$

Найдите значение a + b + c.

+ЗАДАЧА 809. Периодическая последовательность

Задачу решили: 46

всего попыток: 61

Задача опубликована: 29.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

levvol

Последовательность целых чисел $\{a_n\}$ такова, что $a_1 = 1$ , $a_2 = 2$ , и для некоторого натурального k выполняется

$a_{n+k} = a_n, \quad n = 1, 2, \ldots$

Также известно, что последовательность $b_n = a_{n+2} - a_{n+1} + a_n$ обладает следующим свойством

$b_{n+1} = \cfrac{1 + b_n^2}{2},\quad n = 1, 2, \ldots$

Найдите значение $\sum \limits_{n = 1} ^{60} a_n$ .

+ЗАДАЧА 812. Секущая и окружности

Задачу решили: 29

всего попыток: 35

Задача опубликована: 05.11.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 4

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: геометрия

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Angelina

Вне окружности $\omega$ с центром O выбрана точка P. Из точек пересечения прямой PO и окружности $\omega$ , дальнюю от P точку обозначим за A, AP = 200. Через точку P проведена прямая l (не проходящая через O), пересекающая $\omega$ в точках B и C, ближней и дальней от P соответственно. Описанная окружность треугольника ABO пересекается с l в точке $D(\ne B)$ , а описанная окружность треугольника ACO пересекается с l в точке $E(\ne C)$ , причем E лежит между точками B и C, AD = 250, AE = 90. Найдите радиус окружности $\omega$ .

+ЗАДАЧА 817. Минимальное значение

Задачу решили: 87

всего попыток: 132

Задача опубликована: 16.11.12 08:00

Прислал: pvpsaba

Источник: Грузинская национальная олимпиада по математи...

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Vkorsukov

Найти минимальное значение выражения: x⁸+y⁸-3x²y², х и у - действительные числа.

+ЗАДАЧА 823. Арифметические прогрессии

Задачу решили: 69

всего попыток: 88

Задача опубликована: 30.11.12 08:00

Прислал: nauru

Источник: Кубок Колмогорова

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Sam777e

Даны две арифметические прогрессии a₁, a₂… и b₁, b₂, …. (арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой a_n = a_n–1+d, где d — некоторое число, единое для всей последовательности). Известно, что a₁ = b₁, и для каждого номера i остатки от деления a_i и b_i на i совпадают. Найдите значение выражения a₂₀₁₂- b₂₀₁₂.