Вернувшись из своего путешествия на Луну, Незнайка решил написать книгу о своих приключениях. Каждый вечер он читал новую главу из неё своим друзьям и однажды прочитал им следующие невероятные события: "Однажды утром Спрутс бросил меня в огромную пещеру с абсолютно гладкими гранитными стенами, которая представляла собой точный куб размерами 100x100x100 метров. Я стоял на краю небольшой ниши, нижний край которой был ровно в центре вертикальной грани этого куба. Выход на волю (его нижний край) был ровно в центре противоположной от меня грани. Присмотревшись, я увидел  канат висящий от выхода до пола. Если бы я как-то спустился на пол пещеры, я легко выбрался бы взобравшись по нему. Однако я был на высоте 50 метров от пола и не мог спрыгнуть. К счастью, у меня был подарок Миги: чудесный моток точно такого же каната. Сколько каната из него ни вытягивай, можно вытянуть еще столько же и так далее. Правда он был немного неудобный, в сечении это был не круг, а квадрат со стороной 2 см. Достаточно толстый, но очень гибкий и скользкий.  Как я ни старался, я так и не смог закрепить канат, чтобы спуститься по нему вниз. Исследовав всю небольшую нишу, я нашел ножницы, которыми можно было перерезать канат. Выхода из ситуации не было, однако поразмыслив я все же смог выбраться!"

"Враньё от первого до последнего слова!" — засмеялись все находившиеся в комнате коротышки, однако профессор Звёздочкин сказал, что при этих условиях у Незнайки действительно был один способ, чтобы выбраться из пещеры, и Знайка с ним согласился. Какое наименьшее количество метров каната нужно было вытянуть Незнайке из мотка, чтобы выбраться? (Считаем, что размеры Незнайки точечные, любой прыжок на любую высоту вверх или вниз смертелен).

На листе клетчатой бумаги отмечено несколько узлов сетки (т.е. точек, в которых пересекаются вертикальные и горизонтальные линии) так, что внутри интервала, соединяющего любые две отмеченные точки вообще нет узлов сетки. Найдите наибольшее число отмеченных узлов.

На доске написаны 13 чисел: 0, 1, 2, ..., 12. Среди них выбирают два каких-то числа a и b, стирают их, а вместо них пишут одно число ab+a+b. Описанную процедуру повторяют 12 раз. Найдите наибольшее число, которое может остаться на доске.

Найдите наибольшее значение n≤2011, при котором в клетках доски n×n можно расставить фишки так, чтобы на любых двух горизонталях стояли одинаковые количества фишек, а на любых двух вертикалях — различные. (В одну клетку можно поставить не более одной фишки, а каждая фишка должна занимать ровно одну клетку.)

Пусть запись a$b обозначает наименьшее из чисел a + b и 2b. Решите уравнение x$3=5$x.

Треугольник ABC - равнобедренный: AB = AC.

На стороне BC, длина которой равна 43, находится точка D. Дано:

AD = 17

CD = 13

Найдите, чему равен угол ADC в градусах.

Каждый день в течение ста дней подряд Марго записывала показания уличного термометра. Затем ей пришло в голову вычислить все попарные произведения ста полученных значений. Среди вычисленных Марго произведений ровно 2013 оказались ниже нуля.

Сколько дней была нулевая температура? 

Сумма двух вещественных чисел a и b равна 5, при этом значение выражения a+b+a²b+b²a равно 24.

Найти сумму кубов чисел a и b. 

Найти наибольшее число R, при котором система уравнений: 

x-4y=1
Rx+3y=1

имеет решение в целых числах x, y. 

Решить ребус:

АПОРТ*4=ТРОПА

(одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными - разные, число не может начинаться с нуля, система счисления - десятичная)

В ответе запишите значение слова ТРОПА.