Какая цифра стоит на 100-м месте после запятой в десятичной записи числа (44+√2009)²⁰⁰⁹?

Вам нужно узнать задуманное число от 1 до 2000. Можно задавать вопросы, на которые тот, кто задумал число, отвечает либо «да», либо «нет». Какое минимальное число вопросов нужно задать, чтобы достоверно определить задуманное число, если отвечающий может и солгать, но не более одного раза?

Известно, что сумма S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n бывает сколь угодно большой. Рассмотрим наименьшее m для которого S_m > 1000000. Требуется найти количество цифр в десятичной записи числа m.

Какое минимальное число различных решений, лежащих на отрезке [−π,π], может иметь тригонометрическое уравнение a cos(9x) + b sin(16x) + c cos(25x) + d sin(36x) = 0? (Решения данного уравнения зависят от значений его коэффициентов a, b, c и d.)

Перед двумя игроками 4 кучки из спичек: в первой — 11, во второй — 29, в третьей — 37 и в четвёртой — 41 спичка. Каждый игрок своим ходом берёт любое (ненулевое) число спичек из любой кучки по своему выбору — можно взять хоть всю кучку, но брать спички из разных кучек нельзя. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Сколько спичек и из какой кучки должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока? В ответе введите произведение количества взятых спичек и номера кучки.

Рассмотрим десятичные записи степеней двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096,... и составим последовательность, состоящую из их первых цифр: 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4... Каждая цифра появляется среди первых n членов полученной последовательности с некоторой частотой, зависящей от n. Например, при n=12 частота появления 1 равна 1/4, 2 — 1/4, 3 — 1/12, 4 — 1/6, 5 — 1/12, 6 — 1/12, 8 — 1/12, а цифры 7 и 9 вообще не встречаются. Найдите число, обратное к предельной (при n→∞) частоте появления семёрки. Ответ округлите до ближайшего целого числа.

Перед двумя игроками 5 кучек из спичек: в первой — 7, во второй — 10, в третьей — 18, в четвёртой — 19 и в пятой — 24 спички. Каждый игрок своим ходом берёт любое (ненулевое) число спичек из одной или двух кучек по своему выбору — например, можно взять только одну спичку, а можно и все спички из двух кучек, но вообще не брать спичек или брать спички из трёх разных кучек нельзя. Ходы делаются по очереди, а выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Сколько спичек и из каких кучек должен взять первый игрок в начале игры, чтобы обеспечить себе победу при любых ходах второго игрока? В ответе введите общее количество взятых спичек.

Найдите число всех пар (m,n) целых чисел таких, что 1 ≤ m ≤ 2009²⁰⁰⁹, 1 ≤ n ≤ 2009²⁰⁰⁹ и |m² + mn − n²| = 1.

У Вас есть три одинаковых пластмассовых шарика, и Вы хотите выяснить, после броска с какого этажа 119-этажного небоскрёба на них начинают появляться трещины. (Например, если сбросить с 20-го, то трещины появляются, а на 19-м ещё нет.) Чтобы определить, появились ли трещины, нужно выйти на улицу и осмотреть шарик. Прежде чем выйти на улицу, Вы можете сбросить с разных этажей все имеющиеся в наличии нетреснувшие шарики. Разрешается выйти на улицу не более, чем n раз. При каком минимальном значении n ещё возможно гарантированно определить, после броска с какого именно этажа шарики начинают покрываются трещинами. Учтите, что шарик может покрыться трещинами и при падении с первого этажа, а может остаться целым и при падении с последнего.