В Бразилии живет много-много диких обезьян. Каждый год 2 января всех обезьян пересчитывают. В 1999 году количество обезьян увеличилось по сравнению с 1998 года ровно на 5%. И в 2000-2003 годах прирост поголовья обезьян каждый год тоже составлял ровно 5%, причем, по данным переписи 2003 года, в стране проживало не более 5000000 диких обезьян. Сколько диких обезьян жило в Бразилии 2 января 2003 года?

Рассмотрим множество квадратов для первых 40 натуральных чисел:

S={1²,2²,3²,4²,..., 39²,40²}.

Для каждого из чисел 1<n<41, рассмотрим все подмножества S, которые состоят ровно из n элементов. Если при фиксированном n, в каждом из подмножеств длины n найдутся хотя бы два элемента x и y такие, что x+y =p простое число, будем называть число n - квадратнопростым. Найдите минимальное квадратнопростое число n для данного множества S.

(Например для множества S={1, 4, 9}, n=2: {1, 4}, {1, 9}, {4, 9}; n=3: {1, 4, 9}, и минимальное квадратнопростое число n=3).

Если в мешке находится по 3 шара черного, белого и красного цвета, как известно, вероятность вытащить два шара, например, красного цвета в этом случае равна P_к=3/9 ·2/8=1/12, а вероятность выташить наугад два шара любого одинакового цвета P=1/4.

В нашем мешке находится некоторое количество x=n·m шаров: n различных цветов, а шаров каждого цвета ровно m штук. Нетрудно посчитать вероятность P₁ выташить два шара любого одинакового цвета для этого случая. Когда в мешок добавили 52 шара нового цвета, которого в мешке не было оказалось, что вероятность P₂ (для нового количества шаров и цветов) вытащить два шара одинакового цвета не изменилась, и осталось той же, что была до добавления шаров нового цвета. То есть P₁=P₂. 

Сколько всего x шаров могло находиться в таком мешке? (до добавления 52 шаров). Если вариантов x_i несколько, в ответе укажите сумму всех вариантов. Необходимо учитывать разумные ограничения, что m>1 и n>1.

Для натурального n>3 будем обозначать через n? ( n-вопросиал) произведение всех простых чисел, меньших n. Найдите сумму решений уравнения n?=2n+16.

Из целого числа A вычли число B, полученное перестановкой цифр A. A-B состоит из 2013 единиц. Все эти числа (A, B, A-B, 2013) даны в n-ичной системе счисления. Введите (в 10-ичной системе счисления) сумму всех возможных значений n.

В натуральном числе W все N цифр различны и расположены в порядке убывания. Сумма чисел, полученных всевозможными перестановками цифр числа W, включая W, делится на 1419. Найти все такие числа W и ввести их сумму.

Числовой ребус  ОСЕНЬ - ЗИМА = ВЕСНА (как обычно, разные буквы обозначают разные цифры) имеет много решений, поэтому будем рассматривать только те из них, в которых Ь=0 (мягкий знак обозначает нуль). Найдите максимальное значение слова ВЕСНА. 

В натуральном числе W все N цифр различны. Сумма чисел, полученных всевозможными перестановками цифр числа W, включая W, делится на 1353. Определить все возможные значения N, для которых такие числа существуют, и ввести их сумму.

На острове живёт 2013 аборигенов, каждый из которых либо лжец (лжецы всегда лгут), либо рыцарь (рыцари всегда говорят правду). Некоторые аборигены знакомы друг с другом, причём каждый лжец имеет знакомого среди рыцарей, а каждый рыцарь знакомого среди лжецов. Каждый абориген сделал заявление: "Среди моих знакомых лжецов больше, чем рыцарей". Затем правитель острова казнил одного из аборигенов, и после этого каждый абориген сделал заявление: "Среди моих знакомых рыцарей больше, чем лжецов". Сколько рыцарей было на острове изначально?

Доска 16х16 разделена на квадраты со стороной длины 1. Сколько существует различных отрезков целочисленной длины с концами в узлах доски? (Поворачивать доску нельзя, т.е. для доски 1х1  ответ - 4.)