Десятизначное число составлено следующим образом: первая цифра равна количеству единиц в этом числе, вторая цифра — количеству двоек и т.д., десятая цифра — количеству нулей. Найдите сумму всех таких чисел.

Ученику задали напечатать на пишущей машинке подряд первые 2011 натуральных чисел — каждое следующее число на новой строке. Но у пишущей машинки оказалась сломана клавиша с символом 2; и ученик решил пропускать все числа, в записи которых требуется эта клавиша, но напечатать 2011 чисел. Однако он был трудоголиком, вошёл во вкус дела и напечатал 2011·10²⁰ чисел. Какое число было напечатано на последней строке?

В одном шотландском городке стояла школа, в которой учились ровно 12345678910  школьников. У каждого из них был шкаф для одежды — всего 12345678910 шкафов, причём шкафы были пронумерованы числами от 1 до 12345678910. А ещё в этой школе жили привидения — ровно 12345678910 привидений. Каждый школьник, уходя из школы, запирал свой шкаф, а ночью привидения начинали играть со шкафами, то отпирая, то запирая их. Однажды вечером школьники, как обычно, оставили запертыми все шкафы. Ровно в полночь появились привидения. Сначала 1-ое привидение открыло все шкафы; потом 2-ое привидение закрыло те шкафы, номер которых делился на 2; затем 3-третье привидение поменяло позиции (т. е. открыло шкаф, если он был закрыт, и закрыло — если он был открыт) тех шкафов, номер которых делился на 3; следом за ним 4-ое привидение поменяло позиции тех шкафов, номер которых делился на 4 и т. д. Как только 12345678910-ое привидение поменяло позицию 12345678910-го шкафа — пропел петух и все привидения срочно убрались восвояси. Не скажете ли вы, сколько осталось открытых шкафов после посещения привидений?

Мальчики и девочки выбрали каждый по натуральному числу, мальчики - a₁, a₂, ..., a₁₀, девочки - b₁, b₂, ..., b₁₀. Известно, что для чисел выполняются следующие условия:
разница между числами a_i и b_j не меньше 3 для любых i ≠ j,
разница между числами любых двух детей одного пола не меньше 2,
b₁₀ наибольшее среди всех чисел.
Найдите, какое наименьшее значение может принимать b₁₀.

Найдите сумму всех простых чисел p таких, что число p² + 11 имеет ровно 6 различных делителей (включая единицу и само число).

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 3 на 10 (3 строки и 10 столбцов). Некоторые клетки закрашены. В каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы одна закрашенная клетка. Строки содержат 4, 5 и 6 закрашенных клеток. Найти максимальное число закрашенных столбцов (столбец называется закрашенным, если все его клетки закрашены).

Каждый урок учитель опрашивает 9 или, если успевает, 10 учеников. Какое минимальное число уроков должно пройти, чтобы все ученики были опрошены одинаковое число раз, если в классе 33 ученика?

Найдите три средних цифры числа (10⁶⁰⁴+1)²⁰¹².

В треугольник ABC со сторонами AB=62, BC=962, AC=960, будем вписывать n окружностей одинакового радиуса (n от 1 до бесконечности, натуральное) так, что все они касаются стороны AC, соседних окружностей, а крайние окружности касаются сторон AB и BC соответственно. (см.рис.). Существует конечная последовательность k натуральных чисел a_i {a₁,a₂,a₃,...,a_k} таких, что если вписывать a_i окружностей в данный треугольник, у полученных окружностей радиусы будут натуральными числами. Найдите эту последовательность. В ответе укажите сумму всех ее членов .

В школе, где учится больше 225, но меньше 245 учеников, часть учеников являются отличниками, а остальные хорошистами. После контрольной работы 2/7 отличников стали хорошистами, а хорошисты так и остались хорошистами за исключением одного человека, который  стал троечником. При этом хорошистов и отличников стало поровну. Сколько учеников могло быть в школе?