У вас имеется 5 часов со стрелками. Вы можете любые несколько из них перевести вперед. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовем временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное количество часов перевода это можно гарантированно сделать?

Ювелир сделал незамкнутую цепочку из 120 пронумерованных звеньев. Капризная заказчица потребовала изменить порядок звеньев в цепочке. Из вредности она заказала такую незамкнутую цепочку, чтобы ювелиру пришлось раскрыть как можно больше звеньев. Сколько звеньев придется раскрыть?

В каждую клетку квадратной таблицы размера (2²⁰¹⁶−1)×(2²⁰¹⁶−1) ставится одно из чисел +1 или −1. Расстановку чисел назовем удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.

Имеется таблица 1000 х 1000, все клетки которой изначально пусты. Два игрока-терминатора соревнуются в следующей игре. За один ход можно записать в любую незанятую клетку таблицы любое натуральное число от 1 до 10⁶, если такого числа еще нет в таблице. Игроки записывают числа, пока не заполнят всю таблицу. Пусть А количество строк, в каждой из которых сумма чисел делится нацело на 10⁶, а В – количество столбцов, в каждом из которых сумма чисел делится нацело на 10⁶. Первый игрок выигрывает, если А > В, иначе выигрывает второй игрок. Кто из игроков сможет выиграть независимо от игры соперника? (Укажите номер победителя: 1 или 2.)

По кругу написаны 29 ненулевых цифр. Из каждой пары соседних цифр составили двузначное число (при обходе по часовой стрелке первая цифра - число десятков, вторая - число единиц). При этом произведение получившихся 29 чисел является полным квадратом натурального числа. Найти минимальную сумму всех цифр. 

Вова и Маша печатают свои собственные деньги, у каждого свои купюры одного достоинства X и Y, соответственно. Как выяснилось, при помощи комбинации купюр можно сложить почти любые положительные целые числа, кроме 15 чисел. Одним из таких чисел является 18.

Найти X+Y.

Найдите положительный остаток при делении 666666⁷⁷⁷⁷⁷⁷ на 1464851.

Одна из 11 монеток обладает странным свойстовом - она может быть либо настоящей, либо фальшивой (более легкой), настоящие монетки весят одинаково. При этом после каждого взвешивания она меняет свое состояние на другое. В каком состоянии она находится в данный момент неизвестно. За сколько взвешиваний на чашечных весах ее можно определить?

Вовочка называет ненулевую цифру, а Маша вставляет ее вместо одной из звёздочек в выражение **** - **** (разность двух четырехзначных чисел). Цель Вовочки - получить после восьми ходов максимальное значение выражения, а цель Маши - минимальное. Каким будет значение выражения при идеальной игре обоих?

Имеется 100 неотличимых по виду шаров, среди которых 51 радиоактивный. При помощи детектора радиоактивности, на который умещается не более двух шаров, и его чувствительность невысока, поэтому он срабатывает только если оба шара активны. За какое минимальное количество тестов можно гарантированно найти все радиоактивные шары?