Каждое из 2009 чисел равно 1, 0 или -1. Какое наименьшее значение может принимать сумма произведений всех пар, составленных из этих чисел?

Саша выставляет на пустую шахматную доску ладьи: первую — куда захочет, а каждую следующую ставит так, чтобы она побила нечетное число ранее выставленных ладей. Какое наибольшее число ладей он сможет так выставить? (Как обычно, ладьи бьют друг друга и по вертикали, и по горизонтали, но только если между ними нет других ладей.)

В футбольном турнире каждая команда сыграла с каждой по одному разу. Ровно треть команд хотя бы раз сыграли вничью, а ровно 75% остальных команд не обошлись без поражений. При этом только одна команда не проиграла ни одного матча. Сколько матчей турнира окончились победой одной из команд?

В спешке не пропустить начало нового сериала, семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, сынишка — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик, а мост выдерживает только двоих. За сколько минут все они смогут его перейти при лучшей организации своего движения?

Условия для особо придирчивых: Если переходят двое, то они идут с меньшей из скоростей. Идти по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Бросать фонарик нельзя.

Имеется 2009 мешочков с 1, 2, 3,..., 2008 и 2009 монетами. Каждый день разрешается взять из одного или нескольких мешочков по одинаковому числу монет. За какое минимальное число дней можно взять все монеты? 

Сколько клеток составляет площадь выпуклого 16-угольника минимального периметра, вершины которого находятся в узлах клетчатой бумаги?

Существует теория, что ночная бабочка для навигации использует Луну: она летит по прямой, поддерживая постоянным угол между направлением своего полёта и направлением на Луну. Если же она примет за Луну уличный фонарь или другой близкий к ней источник света, то полетит вокруг него по спирали, приближаясь или удаляясь от него. (Пограничный случай полёта по окружности бывает лишь в теории.)

Через сколько секунд ночная бабочка долетит до фонаря, если он находится в 18-ти метрах от неё, летит она со скоростью 1 м/с и поддерживает угол 60° между направлением своего полёта и направлением на фонарь? (Бабочка и фонарь — это точки в пространстве.)

Двенадцать солдат должны как можно быстрее вернуться в свою часть, находящуюся от них в 17 км по просёлочной дороге. Друг одного из солдат берётся подвезти их на своём джипе, но одновременно он может взять лишь четверых. Скорость идущих пешком солдат — 5 км/ч, а джипа — 60 км/ч (дорога, увы, неважная). Через сколько минут все солдаты смогут вернуться в часть при наилучшей организации своего движения? Временем, затраченным на пересадки, можно пренебречь.

Сколько различных решений имеет уравнение log_1/16x=(1/16)^x?

Сначала первая труба наполняла бассейн ровно половину времени, необходимого двум другим трубам, чтобы полностью его наполнить. Потом вторая труба наполняла бассейн ровно половину времени, необходимого двум другим трубам, чтобы полностью его наполнить. Наконец, третья труба наполняла бассейн ровно половину времени, необходимого двум другим трубам, чтобы полностью его наполнить. В результате бассейн оказался наполненным за 2 часа. За сколько минут все три трубы наполняют бассейн, если работают одновременно?