Diofant.ru:: Список задач для тренировки ума и продления жизни.

Задачи: Математика

Пожалуйста, не пишите нам, что вы не можете решить задачу.
Если вы не можете ее решить, значит вы не можете ее решить :-)

Пред. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 33 34 Cлед.

Показывать:

все

фильтр

спрятать информацию

+ЗАДАЧА 780. Школьники на экзамене

Задачу решили: 48

всего попыток: 355

Задача опубликована: 22.08.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 1

Лучшее решение:

Sam777e

На экзамене 16 школьников решали 30 задач. Каждый ученик верно решил не более 15 задач, а каждую задачу решило не менее 8 школьников. При этом для любой пары школьников количество задач, решенных ими обоими, одинаково и равно n. Найдите n.

+ЗАДАЧА 782. Максимальная сумма

Задачу решили: 67

всего попыток: 101

Задача опубликована: 26.08.12 08:00

Прислал: georgp

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 1

Лучшее решение:

Dremov_Victor (Виктор Дремов)

Известно, что 1²x₁+2²x₂+3²x₃+...+200²x₂₀₀≤2040000, где x₁_, x_2,x₃ ,…. X₂₀₀ принимают значения 0 или 1.

Найти максимальное значение 1²x₁+2²x₂+3²x₃+...+200²x₂₀₀.

+ЗАДАЧА 785. НОД биномиальных коэффициентов

Задачу решили: 52

всего попыток: 157

Задача опубликована: 03.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: теория чисел

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

leonid (Леонид Шляпочник)

Для натурального числа $k$ обозначим

$a_k = \cfrac{361984!}{k!(361984 - k)!}.$

Найдите наибольший общий делитель чисел $a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{361983}$ .

+ЗАДАЧА 788. Целые степени

Задачу решили: 48

всего попыток: 238

Задача опубликована: 10.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: теория чисел

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

bbny

Найдите наибольшее натуральное a, для которого существует такое натуральное b, что a^b+2a=b^4a.

+ЗАДАЧА 792. Сумма дробных частей

Задачу решили: 55

всего попыток: 67

Задача опубликована: 19.09.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: теория чисел

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

bbny

Пусть $t_1, t_2, \ldots, t_{1004}$ --- все натуральные числа, меньшие $2012$ и взаимно простые с $2012$ . Найдите значение суммы дробных частей $\sum \limits_{i = 1} ^{1004} \biggl\{\cfrac{523t_i}{2012}\biggr\}.$ (Здесь {x} обозначает дробную часть x, {x}=x-[x], где [x] наибольшее целое число, не превосходящее x (целая часть x).)

+ЗАДАЧА 798. Ровно четыре решения

Задачу решили: 43

всего попыток: 281

Задача опубликована: 03.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>

Комментарии: 0

Лучшее решение:

Angelina

Пусть $f(x) = x^2 -10x + \frac{p}{2}$ . Найдите такое натуральное $p$ , что уравнение $f \circ f \circ f (x) = f(x)$ имеет ровно 4 различных действительных решения.

+ЗАДАЧА 800. Собака на привязи

Задачу решили: 179

всего попыток: 282

Задача опубликована: 08.10.12 08:00

Прислал: kolkingen

Источник: Кенгуру-задачник

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

, планиметрия

решать >>

Комментарии: 3

Лучшее решение:

levvol

На углу дома, размеры которого - 6 метров на 4 метра, привязана собака. Длина привязи - 10 метров.

Какова площадь участка доступного собаке?

Число ∏ (Пи) округлить до 3.

+ЗАДАЧА 802. 20 чисел (Голованов А.)

Задачу решили: 41

всего попыток: 169

Задача опубликована: 12.10.12 08:00

Прислал: nauru

Источник: Санкт-Петербургская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: теория чисел

решать >>

Комментарии: 6

Лучшее решение:

zmerch

Саша задумал 20 натуральных чисел и вычислил все возможные произведения, составленные из пар задуманных чисел. Получилось 190 произведений. Найдите наибольшее число произведений гарантированно заканчивающихся на одну и ту же цифру.

(Хотелось бы иметь математическое решение, а не программу.)

+ЗАДАЧА 804. Награждение солдат

Задачу решили: 80

всего попыток: 117

Задача опубликована: 17.10.12 08:00

Прислал: kolkingen

Источник: Кенгуру-задачник

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: арифметика

решать >>

Комментарии: 2

Лучшее решение:

bbny

После войны один из полков солдат построили на площади в форме прямоугольника. И 1% от этих солдат были награждены за отвагу. Причем, солдаты, получившие награды, точно встречаются в 30% рядов и в 40% колонн. Какое наименьшее количество солдат может быть в этом полку?

+ЗАДАЧА 805. Уравнение в целых числах

Задачу решили: 65

всего попыток: 105

Задача опубликована: 19.10.12 08:00

Прислал: Dremov_Victor

Источник: Корейская математическая олимпиада

Вес: 1

сложность: 1

класс: 8-10

баллы: 100

Темы: алгебра

решать >>