В координатной плоскости расположено множество гипербол вида |xy| = k  и множество окружностей вида x² + y² = 2k. В обоих формулах натуральное число k пробегает все значения от 1 до 55. На сколько частей все эти линии делят координатную плоскость?

С помощью равносторонних треугольников нарисованы две «растущие» ёлочки.

Треугольники «вписаны» в угол так, что две вершины каждого треугольника лежат на сторонах угла, а третья вершина лежит на биссектрисе этого угла. Площади первого и второго треугольников снизу соответственно равны 121 и 81. На ёлочке слева каждый следующий треугольник пересекается с предыдущим по треугольнику площади 1, на ёлочке справа каждый следующий треугольник пересекается с предыдущим по треугольнику площади 4. Продолжая многократно такой процесс рисования, убеждаемся, что ёлочки растут.  Как высоко они вырастут? В ответе укажите отношение высоты меньшей ёлочки к высоте большей.

Равносторонний треугольник разрезан на равносторонние треугольники, которые раскрашены в красный, желтый и зеленый цвета так, что треугольников всех трёх цветов было поровну, при этом треугольники одинакового цвета имеют один размер, а треугольники разного цвета – разного размера. Найдите наименьшее количество треугольников каждого цвета.  

Рассмотрим последовательность «снежинок», нарисованных точками.

Количество точек в каждой из них задают числовую последовательность: 13, 103, 283, 553, … По рисунку выясните принцип построения снежинок и укажите сколькими точками будет нарисована снежинка с номером 17.

Рассмотрим числовую пирамиду (см. схему ниже), построенную по следующему принципу:

в первой строке записана сумма первых 6-ти натуральных чисел;

во второй строке записана сумма первых 66-ти натуральных чисел;
в третьей строке записана сумма первых 666-ти натуральных чисел;
в четвертой строке записана сумма первых 6666-ти натуральных чисел, и так далее.

Вычислите построчные суммы в первых 21-й строках этой числовой пирамиды и сложите их. В ответе укажите сумму цифр полученного числа. 

Три равных квадрата с общей вершиной расположены так, как показано на рисунке.

Найдите площадь девятиугольника, если площади треугольников равны 1.

График уравнения sin(y)=cos(x) разбивает координатную плоскость бесконечное множество равных частей. Найдите площадь S одной части. В ответе укажите целую часть 10000S.

Бесконечное семейство синусоид задается формулой у = (–1)ⁿ∙sinx + 2n, где n∈Z, и разбивает координатную плоскость на бесконечное множество равных частей. Найдите площадь S одной части. В ответе укажите отношение площади S к площади прямоугольника со сторонами 7 и 3∏. Здесь ∏ - число Пи.

На иранской почтовой марке 1982 года, посвященной международному дню связи, изображена фигура, составленная из единичных кубиков.

Выясните принцип построения таких фигуры. Найдите количество кубиков в фигуре, на внешнем ребре которой 44 кубика. Например, если на внешнем ребре фигуры 2 кубика, то она составлена из 7 кубиков, если на внешнем ребре фигуры 4 кубика, то она составлена из 44 кубиков, т.д.

Каркасный куб N x N x N составлен из единичных кубиков, которые расположены вдоль ребер куба. Шесть таких каркасных кубов объединены в форме пространственного креста так, что два соседних куба пересекаются N своими реберными кубиками. Пусть каркас пространственного креста составлен из K единичных кубов, а в его внутреннее пространство (пустота), ограниченное гранями кубов, составлено из P единичных кубиков. При каком N отношение P / K равно 512?

На рисунке слева изображена каркасная модель куба 4х4х4, составленная из 32 единичных кубиков, справа – каркас пространственного креста, составленного из шести таких кубов.