Внутри квадрата ABCD со стороной 1 находится точка P на расстоянии 4/7 от стороны AB и на расстоянии 3/11 от стороны AD.

K – точка пересечения медиан треугольника ABP,
L – точка пересечения медиан треугольника BCP,
M – точка пересечения медиан треугольника CDP,
N – точка пересечения медиан треугольника DAP.

Найдите площадь четырёхугольника KLMN.

Перед вами квадратная сетка из 6×6 точек, и на ней – пример замкнутой ломаной, которая обладает следующими свойствами:

• она проходит строго по линиям сетки;
• она проходит ровно по одному разу через каждую точку сетки.

Легко видеть, что суммарная длина её вертикальных звеньев больше суммарной длины её горизонтальных звеньев.

А для каких квадратных сеток из N×N точек в пределах 2≤Ν≤13, существует замкнутая ломаная, у которой выполняются описанные выше свойства, а также суммарная длина её вертикальных звеньев равна суммарной длине её горизонтальных звеньев?

В качестве ответа введите строку из чисел – подходящих N (по возрасстанию). Например, если подходящими являются только сетки 2×2 и 13×13, то ответ выглядит так: 213.

Для каждого натурального N≥10 определим f(N) как наименьшее натуральное число, у которого найдутся четыре различных натуральных делителя с суммой N.

Найдите все натуральные числа N≥10, у которых f(N)≥N.

Укажите в ответе сумму всех таких N и соответствующих им f(N).

Какое наименьшее количество перегибов нужно сделать, чтобы разделить бумажный квадрат на 2 части с площадями в отношении 1:2, не имея ничего, кроме самого квадрата?

Найдите сумму натуральных чисел m (2 ≤ m ≤ 40) таких, что за конечное число сгибов бумажного квадрата можно получить 1/m его площади.

У Ильи есть 2003 бумажных равных правильных треугольника. Он может оклеить ими K правильных тетраэдров без наложений и просветов, и при этом все тетраэдры кроме двух будут иметь различные размеры, а два тетраэдра будут одинакового размера: на оклейку каждого из них понадобятся M треугольников.

Найдите максимально возможное значение 1000K+M.

Рассмотрим два варианта условия задачи:

Вариант 1. Не обязательно использовать все треугольники.

Вариант 2. Все треугольники должны быть использованы.

Найдите максимальные значения 1000K+M в обоих вариантах и введите в ответе их произведение.