Внутри квадрата ABCD со стороной 1 находится точка P на расстоянии 4/7 от стороны AB и на расстоянии 3/11 от стороны AD.

K – точка пересечения медиан треугольника ABP,
L – точка пересечения медиан треугольника BCP,
M – точка пересечения медиан треугольника CDP,
N – точка пересечения медиан треугольника DAP.

Найдите площадь четырёхугольника KLMN.

Перед вами квадратная сетка из 6×6 точек, и на ней – пример замкнутой ломаной, которая обладает следующими свойствами:

• она проходит строго по линиям сетки;
• она проходит ровно по одному разу через каждую точку сетки.

Легко видеть, что суммарная длина её вертикальных звеньев больше суммарной длины её горизонтальных звеньев.

А для каких квадратных сеток из N×N точек в пределах 2≤Ν≤13, существует замкнутая ломаная, у которой выполняются описанные выше свойства, а также суммарная длина её вертикальных звеньев равна суммарной длине её горизонтальных звеньев?

В качестве ответа введите строку из чисел – подходящих N (по возрасстанию). Например, если подходящими являются только сетки 2×2 и 13×13, то ответ выглядит так: 213.

Для каждого натурального N≥10 определим f(N) как наименьшее натуральное число, у которого найдутся четыре различных натуральных делителя с суммой N.

Найдите все натуральные числа N≥10, у которых f(N)≥N.

Укажите в ответе сумму всех таких N и соответствующих им f(N).

Какое наименьшее количество перегибов нужно сделать, чтобы разделить бумажный квадрат на 2 части с площадями в отношении 1:2, не имея ничего, кроме самого квадрата?

Найдите сумму натуральных чисел m (2 ≤ m ≤ 40) таких, что за конечное число сгибов бумажного квадрата можно получить 1/m его площади.

У Ильи есть 2003 бумажных равных правильных треугольника. Он может оклеить ими K правильных тетраэдров без наложений и просветов, и при этом все тетраэдры кроме двух будут иметь различные размеры, а два тетраэдра будут одинакового размера: на оклейку каждого из них понадобятся M треугольников.

Найдите максимально возможное значение 1000K+M.

Рассмотрим два варианта условия задачи:

Вариант 1. Не обязательно использовать все треугольники.

Вариант 2. Все треугольники должны быть использованы.

Найдите максимальные значения 1000K+M в обоих вариантах и введите в ответе их произведение.

В равнобедренной трапеции отстрые углы равны 60°, бокоые стороны равны 90, малое основание – 210. Её раделили на N одинаковых равносторонних треугольников. Найдите количество возможных значений N, непревосходящих 1000000.

Равнобедренную трапецию с отстрыми углами 60° раделили на N одинаковых равносторонних треугольников. Найдите количество всех возможных значений N, не превосходящих 100.

Равносторонний треугольник разрезан на 3n равносторонних треугольника трёх различных размеров, причём треугольников каждого размера ровно n.

В списке (336, 504, 1400, 2000, 3000, 3675, 4032, 4176) приведены некоторые возможные значения n. Найдите сумму всех чисел из этого списка, для которых такое разрезание возможно.

Треугольник со сторонами a, b, c полностью помещается в квадрате со стороной d. Обозначим как f(a, b, c) минимально возможное значение d для данных a, b, c. Найдите сумму f(8, 15, 17) + f(8, 15, 18) + f(8, 15, 22), умножайте её на 10⁶ и введите в ответе целую часть результата.